1r ciclo electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

[China]

Buenas, he estado mirando el campo que genera una distribución lineal e indefinida de carga en un punto P que está a una distancia R de dicho hilo. La descomposición de dE en el eje X e Y se puede hacer en función de dos ángulos... y en teoría el valor del campo total en ese punto que corresponde a las componentes Y, puesto que las componentes X se anulan por simetría, entiendo que debería ser el mismo, independientemente del ángulo usado, sin embargo...obtengo resultados del mismo valor absoluto y distinto signo. No debería ser igual?

[Ulises7]

Re: electrostática

Como no expongas detalladamente qué angulos estás usando para determinar las expresiones del campo vectorial poco podremos hacer para entender tu pregunta...

También se agradecería que plantearas mejor el problema porque depende cómo plantees los ejes los resultados son opuestos (simetría respecto a x o respecto a y).

Un consejo, si utilizas Gauss todos estos problemas con simetrías indefinidas son mucho más sencillos porque no tienes que resolver integrales vectoriales, son integrales escalares directas si escoges la superfície gaussiana correcta, en este caso sería un cilindro y verás que el campo te sale fácil y directo. Aunque si en el exámen te piden que uses explícitamente el principio de superposición entonces sí, dale caña a hacerlo paso por paso.

[China]

Re: electrostática

Es que si pudiera poner el dibujo... pero no se pueden poner dibujos no??

[Al2000]

Re: electrostática

Si que puedes. Te invito a leer Cómo adjuntar imágenes, y otros archivos, en los mensajes.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[China]

Re: electrostática

Si lo calculo con el angulo del dibujo da una cosa y si uso el angulo formado por x y r da el mismo modulo y opuesto. El campo da lambda partido de 2 pi epsilon R

[Al2000]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

Usando el ángulo $\theta$ tienes el campo

$$E = E_y = \int dE\, \cos \theta = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int \! \frac {dx} {r^2}\,\cos \theta$$

Para resolver esa integral debes elegir con cuál de las tres variables quieres trabajar. En principio deberías poder expresar la integral en función de cualquiera de ellas o incluso de alguna variable nueva, como es común cuando se hace algún cambio de variables conveniente.

Si decides integrar en función de $x$, entonces harías el cambio

$$\cos \theta = \frac R r$$

$$r = \sqrt {R^2 + x^2}$$

e integrarías desde $x \to - \infty$ hasta $x \to \infty$. Si decides usar el ángulo (el camino más sencillo en este caso), harías el cambio

$$r = R\, \sec \theta$$

$$x = R\, \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dx = R \sec^2 \theta \, d \theta$$

e integrarías desde $\theta \to -\pi /2$ hasta $\theta \to \pi/2$. Haciéndolo de esta manera concluyes que

$$E = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \! \frac {R \sec^2 \theta\, d \theta } {R^2 \sec ^2 \theta } \cos \theta = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0 R} \underbrace {\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \! \cos \theta\, d \theta}_2 = \boxed {\frac \lambda {2 \pi \epsilon_0 R}}$$

Pero si decides usar el otro ángulo (lo llamaré $\varphi$), deberías hacer el cambio

$$E = E_y = \int dE\, \, \mathrm {sen} \, \varphi = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int \! \frac {dx} {r^2}\,\, \mathrm {sen} \, \varphi$$

$$r = R\, \csc \varphi$$

$$x = R\, \cot \varphi \quad \Rightarrow \quad dx = - R \csc^2 \varphi \, d \varphi$$

e integrarías desde $\varphi \to \pi$ hasta $\varphi \to 0$. Haciéndolo de esta manera concluyes que

$$E = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int_\pi^0 \! \frac {-R \csc^2 \varphi \, d \varphi } {R^2 \csc ^2 \varphi } \, \mathrm {sen} \, \varphi = -\frac \lambda {4 \pi \epsilon_0 R} \underbrace {\int_\pi^0 \! \, \mathrm {sen} \, \varphi \, d \varphi}_{-2} = \boxed {\frac \lambda {2 \pi \epsilon_0 R}}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

Hola a todos.

- Por trigonometría: $dx=rd\theta$, y $r=\dfrac{R}{cos\theta}$.

- Campo eléctrico a partir de la ley de Coulomb (https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico):

$dE=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda dx}{r^2}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda rd\theta}{r^2}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda d\theta}{r}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda cos\theta d\theta}{R}$.

$E=\dfrac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\dst\int_{-90^{\circ}}^{90^{\circ}}cos\theta d\theta=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0R}$

Saludos cordiales,
JCB.

PD: acabo de ver que Al2000 ha respondido simultáneamente. Saludos Al2000.

[China]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

Gracias a todos, ya vi cual es el fallo, Al2000, en el 2º caso usas limites de integración entre $\pi$ y 0 y yo los pongo al revés.. ese es el problema... por que los usas así??

[JCB]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

Hola a todos.

China, si hacemos lo que dice Ulises7, obtendríamos:

$\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$,

$E2\pi Rx=\dfrac{\lambda x}{\epsilon_0}$, ( menos mal que x se anula, porqué es $\infty$)

$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0R}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

..,Al2000, en el 2º caso usas limites de integración entre $\pi$ y 0 y yo los pongo al revés.. ese es el problema... por que los usas así??

Debes integrar en el sentido creciente de la coordenada de los elementos de carga. Fíjate en los valores que toma el ángulo para los límites en la variación de $x$, bien sea observando el gráfico mismo o bien usando el cambio de variables empleado. Cuando $x \to - \infty, \quad \varphi \to \pi$ y en el otro extremo, cuando $x \to \infty , \quad \varphi \to 0$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

Por cierto, Al2000, ¿ es correcta mi consideración $dx=rd\theta$ ?.

Gracias,
JCB.

[Al2000]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

No, $r\,d \theta$ corresponde a la base del triángulo rectángulo de hipotenusa $dx$. Habría que proyectar ese $dx$ sobre el arco trazado con $r$ constante y si haces un esquema de la situación verás que el ángulo es precisamente $\theta$ con lo cual te quedaría que $(dx) \cos \theta = r\, d \theta$, es decir que $dx = r \sec \theta \, d \theta$.

Yo vi la discrepancia pero se me olvidó comentarla. Nota que hasta ahora has obtenido que $\dst dE = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \frac {\sec \theta } r\, d \theta$. Para eliminar $r$ deberás sustituir $r = R \sec \theta$ para obtener que $\dst dE = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0 R}\, d \theta$. Finalmente deberás proyectar el campo sobre el eje Y para finalmente obtener que $\dst dE_y = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0 R} \cos \theta \, d \theta$.

Y así se completa el círculo

Parte de la dificultad de tratar de relacionar $x$ con $\theta$ metiendo $r$ en el embrollo es que $r$ no es constante, lo cual te dificulta hallar la relación. Tu podrías escribir, a partir del esquema, que $x = r \, \mathrm {sen} \, \theta$, lo cual es absolutamente correcto, pero para obtener $dx$ te enfrentas a la necesidad de derivar $r$ y se empieza a enturbiar el asunto. Por eso es que usas el otro lado del triángulo y escribes que $x = R \tan \theta$ la cual es fácil de derivar pues $R$ es una constante.

Bueno, perdón por el rollo. Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Re: electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

Al2000, has sido muy clarificador: vaya metedura de pata que he hecho. O sea que, solo gracias a la casualidad, he llegado a la expresión correcta en mi post #7. Muchas gracias Al2000 por deshacer el entuerto. Mira que si no fuera por vosotros los expertos, la cantidad de barbaridades que podría llegar uno a escribir… Mis disculpas a China por las inexactitudes que, involuntariamente, he indicado.

Acabo de hacer el camino que me has señalado en tu post #12, y creo que me ha salido bien.

$dl=rd \theta$ (1)

$\dfrac{dl}{dx}=cos \theta, dl=cos\theta dx$ (2)

$cos \theta=\dfrac{R}{r}, r=\dfrac{R}{cos \theta}$ (3)

Igualando (1) con (2) y substituyendo (3),

$rd \theta=cos\theta dx, \dfrac{R}{cos \theta}d \theta=cos \theta dx, dx=\dfrac{R}{cos^2 \theta}d \theta$.

Sinceramente agradecido,
JCB.

PD: definitivamente, me quedo con Gauss