Divulgación Calculo del campo eléctrico creado por un plano infinito

[China]

$\int\int\frac{\sigma\kappa\dd\mu\dd\nu\left(\mu\hat{\imath}+\nu\hat{\jmath}+z\hat{k}\right)}{{{\mu}^{2}+{\nu}^{2}+{z}^{2}}^{\frac{3}{ 2} } }$

Hola, en el calculo del campo eléctrico creado por un plano infinito, en cualquier punto, llego a una integral doble en ambos casos entre menos infinito e infinito... después de hacer el cambio de variable, se llega a la expresión anterior, hasta aquí lo entiendo, ahora después sin más ni más esta expresión la iguala a:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El por que quita sin más ni más las componentes \mu y \nu del numerador no lo consigo ver...
Gracias

[Al2000]

Re: Calculo del campo eléctrico creado por un plano infinito

[Sin relación:] Cuando quieras poner una expresión que tiene fracciones, subíndices o superíndices, es preferible usar las etiquetas [TEX=null][/TEX]. En su defecto, y si deseas que la ecuación se encuentre embebida en el texto, puedes utilizar el comando "\dst" al principio de la expresión para instruir al parser a que no reduzca el tamaño para ajustar la ecuación al espacio de interlineado.


[La sustancia:] Las integrales que pones (copio y edito):

$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{\sigma\kappa\,\dd\mu\dd\nu(\mu\hat \imath+\nu\hat \jmath+z\hat k)}{\left(\mu^2+\nu^2+z^2 \right)^{3/2}}$$

$$\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{\sigma\kappa\,\dd\mu\dd\nu(z\hat k)}{\left(\mu^2+\nu^2+z^2 \right)^{3/2}}$$

corresponden, la primera a todas las componentes del campo y la segunda a solamente la componente Z. Esto se debe a que las componentes $\mu$ y $\nu$ no contribuyen al campo total dada la simetría del problema. Puedes resolver ambas integrales para comprobar que son nulas.

También te puedes ahorrar la evaluación de las integrales si reparas en que el integrando es una función impar, y por consecuencia la integral será nula al evaluarla entre límites simétricos, como en este caso.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[China]

Re: Calculo del campo eléctrico creado por un plano infinito

Hola, Según entiendo me dices que al resolver esa integral daría 0??, en realidad, se continua el ejercicio haciendo un cambio de variables en el que se introducen ángulos, difícil para mi, para llegar a la misma expresión del campo que se obtiene aplicando Gasuss, que es más sencillo, pero quería entenderlo también por este método.. Vamos que en el desarrollo final esa integral no da 0 da: E=sigma/epsilon
Pregunta tonta.. ahora no encuentro los comandos para las formulas..cuando abrí el hilo, los tenia al final sin más...

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Otra cosilla, si la u y la v se anulan por simetría, por que se hizo el primer cambio de variable de x e y a u y v??, no se podían haber eliminado esas componenetes x e y directamente??

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Otra cosilla, si la u y la v se anulan por simetría, por que se hizo el primer cambio de variable de x e y a u y v??, no se podían haber eliminado esas componentes x e y directamente??

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Otra cosilla, si la u y la v se anulan por simetría, por que se hizo el primer cambio de variable de x e y a u y v??, no se podían haber eliminado esas componentes x e y directamente??

[Al2000]

Re: Calculo del campo eléctrico creado por un plano infinito

Las integrales en $\mu$ y $\nu$ se anulan, la integral en $z$ no es nula y finalmente obtendrías que efectivamente el campo vale $\sigma / 2 \epsilon_0$. ¿Que por qué se hizo el cambio de variables a $\mu$ y $\nu$?... ni idea, tendría que ver el desarrollo para responderte. Si yo hiciese el cálculo usaría $x$ y $y$ seguramente.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Los comando de $\LaTeX$ aparecen cuando editas en modo avanzado.