1r ciclo Flujo neto sobre un cono

[Oxyrus]

Buen día.

Me piden calcular el flujo neto sobre el siguiente cono:



Y me dan los siguientes datos:

El cono tiene radio a en la base, altura h y un campo eléctrico E = 500 N/c lo penetra verticalmente.

Estuve buscando en la web y encontré este otro hilo con un problema similar, solo que la dirección del campo es distinta, no entiendo muy bien como funciona lo de la proyección, mucho menos si es aplicable todas las veces. En este caso, como la proyección sobre un plano perpendicular al campo resultaría en una circunferencia, ¿significaría esto que la siguiente solución es correcta?

$<br /> \Phi = \int E \cdot \dd A<br />$

$\Phi = 2 \pi a E$

También estuve analizando el ejercicio de la siguiente manera, el flujo sobre la superficie lateral de la figura sería $\Phi = \int E \cdot \dd A$, pero el área de la superficie lateral es $A = \pi a g$, donde $g$ lo encuentro del siguiente triángulo:



Quedando así $\phi = EA\cos\theta$, donde $\theta$ es el ángulo formado entre los vectores de área y el campo eléctrico. Así que sacando $\cos\theta$ del triángulo y reemplazando los valores del área y de coseno en la expresión, obtuve $\phi = E \pi a \sqrt{h^2 + a^2} \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$ => $\phi = \pi E a^2$.

¿Esta bien el análisis hasta este punto?, aún faltaría el flujo para la base del cono, y sumar ambos resultados para obtener el flujo neto supongo.

Muchas gracias por su tiempo.

[Quantumist]

Re: Flujo neto sobre un cono

Buenas compañero, estas en lo correcto, el flujo en la cara lateral es efectivamente $E\pi a^2$, tampoco entiendo bien lo de la proyección pero el razonamiento que utilizas es correcto ya que $\phi_1 =\int E \cdot d \vec A$=$\int E \cdot (d \vec A_x + d \vec A_y + d \vec A_z)$= $\int EdA_z = \int Ecos(\theta)dA = Ecos(\theta)\int dA$ y esto es $\phi_1 = EAcos(\theta)$ como tu dices.

El flujo en la base es $\phi_2 = \int E \cdot d \vec A = - \int EdA = -EA$. En este caso el producto punto es negativo porque recuerda que en la base los dA son paralelos pero apuntan en dirección contraria al campo E y el área de la base es $A = \pi a^2$ asi que $\phi_2 = -E\pi a^2$. Al sumar ambos flujos puedes ver que el flujo neto a través de toda la superficie del cono es cero.

En realidad por ley de Gauss sabemos que el flujo en una superficie cerrada solo depende de la carga que encierre en su interior, cualquier otro campo que penetre la superficie desde afuera producirá un flujo nulo, como ves, al hacer las cuentas se comprueba este hecho. Saludos!!

[JCB]

Re: Flujo neto sobre un cono

Hola a todos.

Yo también lo veo así:

El flujo en la superficie lateral del cono es $\phi_L=ES_Lcos\theta=ES_Lsen\alpha=E\pi ag\dfrac{a}{g}=E\pi a^2$. (Nota: "g" es la generatriz del cono)

El flujo en la base del cono es $\phi_B=ES_Bcos\theta$, como en este caso $\theta=180^{\circ}$, $\phi_B=-ES_B=-E\pi a^2$.

Saludos cordiales,
JCB.