Divulgación potencial entre dos esferas conductoras

[China]

Dos conductores esféricos de radios a y b (a <b), separados por una capa esférica aislante que, a todos los efectos, se puede considerar que tiene ε = ε0, están
cargados respectivamente con carga eléctrica Q y -Q.
a) Determinar la diferencia de potencial entre los dos conductores
En este problema he considerado la espera interior cagada con Q y la exterior con menos Q, he calculado el campo entre ambas esferas, en el cual solo intervienen la carga +Q de la esfera interior y es E=kQ/r2 siendo a<r<b y he aplicado para hallar Va-Vb=$-$$\int E dl$, luego considero que dl=-dr y obtengo u valor para Va-Vb, sin embargo es incorrecto... yo estoy considerando solo la carga positiva que es la que produce el campo entre las dos esferas y entonces al hacer la integral me resulta (1/a-1/b)....pero en la solución que tengo se haya el potencial de cada espera desde el punto de potencia cero y al considerar las cargas lo que a mi me queda restando queda sumando y el resultado obviamente es diferente.... no debería ser mi planteamiento también correcto??

[Alriga]

Re: potencial entre dos esferas conductoras

Dos conductores esféricos de radios a y b (a <b), separados por una capa esférica aislante que, a todos los efectos, se puede considerar que tiene ε = ε0, están
cargados respectivamente con carga eléctrica Q y -Q.
a) Determinar la diferencia de potencial entre los dos conductores

Mediante el Teorema de Gauss has obtenido correctamente que si la esfera interior de radio "a" tiene carga +Q y la exterior de radio "b" tiene carga -Q, el campo entre las esferas es radial y su módulo E(r) es:

$\vec E(r)=\dfrac{K Q}{r^2} \ \hat r^0$

$E(r)=\dfrac{K Q}{r^2}$

Sabemos que el campo es el gradiente del potencial cambiado de signo:

$E=-\dfrac{dV}{dr} \quad \Longrightarrow \quad dV=-E \ dr$

Por lo tanto

$dV=-\dfrac{K Q}{r^2} \ dr$

Para hallar la diferencia de potencial entre "a" y "b"

$\dst \int_a^b dV=\int_a^b -\dfrac{K Q}{r^2} \ dr$

$\dst \int_a^b dV=- K Q \int_a^b \dfrac{1}{r^2} \ dr$

$\Big [V\Big ]_a^b=-K Q \ \Big [-\dfrac 1 r \Big]_a^b$

$V_b-V_a=K Q \ \Big (\dfrac 1 b - \dfrac 1 a \Big )$

Como a<b esto da un valor negativo, lo que significa que el potencial en "r=b" es menor que en "r=a"

Naturalmente también es cierto que:

$V_a-V_b=K Q \ \Big (\dfrac 1 a - \dfrac 1 b \Big )$

Que da un valor positivo, ya que el potencial en "r=a" es mayor que en "r=b"

Saludos.

[China]

Re: potencial entre dos esferas conductoras

Alriga, así es como yo lo planteé y me da exactamente lo mismo, pero en la solución que tengo hacen lo siguiente:

Va= KQ/a calculado tomando el infinito como referencia, igual Vb=KQ/b , pero esta carga es de mismo módulo y negativa entonces al hacer V_a-V_b=K Q \ \Big (\dfrac 1 a + \dfrac 1 b \Big ) y el resultado queda diferente... 1/a = a y 1/b con lo cual haciéndolo como lo has hecho tu sale Va-Vb=KQ.5 y de este modo sale Va-Vb=KQ.15
Y esa es la diferencia que encuentro, el planteamiento lo veo claro de los dos maneras, pero entiendo debería llegarse al mismo resultado.

[Richard R Richard]

Re: potencial entre dos esferas conductoras

igual Vb=KQ/b ,

Hola China, eso no es cierto

$V_b=\dfrac{K(-Q)}{b}$

que te lleva exactamente a lo que alriga te explico correctamente

cuando quieras llevar una carga desde el infinito hasta la superficie conductora debes sumar los potenciales de ambas cargas

$V_a=\dst \int_{\infty}^a dV=\int_{\infty}^a -\dfrac{K Q}{r^2} \ dr=\dfrac{K(Q)}{a}$
$V_b=\dst \int_{\infty}^b dV=\int_{\infty}^b -\dfrac{K Q}{r^2} \ dr=\dfrac{K(-Q)}{b}$

para ir de A hasta B tienes que hacer la suma de los potenciales o la suma de los caminos de ir de A hasta B cuyo resultado es independiente del cmino escogido posible, incluso yendo al infinito y volviendo

así cuando vas al infinito tienes

$\dst \int_a^{\infty}dV=\int_a^{\infty}-\dfrac{K Q}{r^2} \ dr=-\dfrac{K(Q)}{a}=-V_a$


cuando vuelves tienes la integral


$V_b=\dst \int_{\infty}^b dV=\int_{\infty}^b -\dfrac{K Q}{r^2} \ dr=\dfrac{K(-Q)}{b}$

cuando sumas los caminos

tienes $V_b-V_a=\dfrac{K(-Q)}{b}+\dfrac{K(Q)}{a}=\Big (\dfrac 1 a - \dfrac 1 b \Big )$

[China]

Re: potencial entre dos esferas conductoras

Esto es la solución del problema y no queda igual.. el termino (1/0,1+1/0,2) a mi, me queda también una resta... haciéndolo mediante la integral del campo... pero entonces significa esto que esta solución es incorrecta...??


Para calcular la diferencia de potencial calculamos el potencial de una esfera cargada respecto a una posición infinitamente alejada, en la que tomamos referencia con potencial 0.Utilizando el teorema de Gauss, el campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q es equivalente al campo creado por una carga puntal Q situada en el centro de la esfera. El potencial en un punto externo también tiene la misma expresión que para una carga puntual.La diferencia de potencial entre las placas seráΔV=V (a)−V (b)=KQ/ a−K(−Q)/ b=KQ(1a+1b)=9·109·(1,6·10 ex(−19)·6,022·10 exp (23))(1/0,1+1/0,2)ΔV =1,3·10exp(16)V La diferencia de potencial es positiva restando al potencial esfera de radio a (interior y con carga positiva) el potencial de la esfera b (exterior y con carga negativa)