1r ciclo Condensador y partícula

[elnota]

Un condensador plano paralelo de 10mF tiene sus placas en el vacío, y está cargado con 1000mC. Una partícula de carga -3mC y masa $2x10^16Kg$ es disparada desde la placa positiva hasta la placa negativa, con una velocidad inicial de $2x10^6m/s$.
a) ¿Logrará llegar esta partícula hasta la placa negativa?
b) Si la respuesta es positiva, determine su velocidad de impacto; en caso contrario, ¿qué fracción de la distancia entre placas recorre antes de pararse?

Bien, si la partícula es un electrón nunca llegará a la placa negativa, luego en el apartado b tengo que calcular la distancia que recorre antes de pararse. En clase el profesor nos ha dicho que no es necesario calcular el campo eléctrico, ¿alguna pista (o solución jeje)?

[polonio]

Re: Condensador y partícula

Para empezar no es un electrón: ¿no ves su carga y su masa? Por cierto, su masa será $2\times10^{-16}$, en lugar de $2\times10^{16}$, ¿verdad?

Si no quieres calcular el campo y a partir de ahí la fuerza y usar la segunda ley de Newton, puedes trabajar con energías...

[elnota]

Re: Condensador y partícula

Para empezar no es un electrón: ¿no ves su carga y su masa? Por cierto, su masa será $2\times10^{-16}$, en lugar de $2\times10^{16}$, ¿verdad?

Si no quieres calcular el campo y a partir de ahí la fuerza y usar la segunda ley de Newton, puedes trabajar con energías...

Si perdón, la masa es $2\times10^{-16}$, pero si es un protón entonces llegará a la placa negativa.

[polonio]

Re: Condensador y partícula

Tampoco es un protón... Su carga es negativa y, efectivamente, la placa negativa la repele.

Si va hacia una placa que repele la partícula, es porque tiene una velocidad inicial.

Es como si tirámemos una pelota hacia arriba: si la soltamos, va hacia abajo, pero si la tiramos hacia arriba sube hasta una altura que depende de la velocidad inicial (de la velocidad con la que la tiramos).

[elnota]

Re: Condensador y partícula

Que te parece esta solución Polonio:
$\overrightarrow{E}=\displaystyle\frac{(Q/S)}{\in{}}\vec{u}$
$C=\in{}\cdot{}\displaystyle\frac{S}{d}$

$S=\displaystyle\frac{C\cdot{}d}{\in{}}$

Sustituyendo S en $\overrightarrow{E}$ sale:
$\left |{\overrightarrow{E}}\right |=\displaystyle\frac{100}{d}$

$Wif=\displaystyle\int_{i}^{i}\overrightarrow{F}\cdot{}d\overrightarrow{l}=F\cdot{}d\cdot{}cos(a)$ a=180 $Wif=-F\cdot{}d=-\left |{q\cdot{}E}\right |\cdot{}d=-3\cdot{}10^{-4}J$

$Wif=\wedge Uif+\wedge Ecif$

Saludos.
$\wedge Ecif=Ef-Ei=-\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=-4\cdot{}10^{-4}J$

$\wedge Uif=q\cdot{}\wedge Vif$

$\wedge Vif=Vi-Vf=\displaystyle\int_{i}^{f}\overrightarrow{E}\cdot{}d=-E\cdot{}d=-100V$

$\wedge Uif=3\cdot{}10^{-4}J$

$\wedge Ecif + \wedge Uif=-10^{-4}J$
Como $\left |{Wif}\right |>\left |{\wedge Ecif}\right |+\left |\wedge {Uif}\right |$ entonces la partícula no llegará a la placa negativa.

$Wif=F\cdot{}x=q\cdot{}E\cdot{}x=-q\cdot{}100\cdot{}\displaystyle\frac{x}{d}=-3\cdot{}10^{-4}\cdot{}\displaystyle\frac{x}{d}$

$\wedge Uif=q\cdot{}E\cdot{}x=3\cdot{}10^{-4}\cdot{}\displaystyle\frac{x}{d}$

$\wedge Ecif=-4\cdot{}10^{-4}J$

$Wif=\wedge Uif + \wedge Ecif$

$x=\displaystyle\frac{2}{3}d$

[Alriga]

Un condensador plano paralelo de C=10 mF tiene sus placas en el vacío, y está cargado con Q=1000 mC. Una partícula de carga q=-3 mC y masa m$=2\cdot 10^{-16}$ kg es disparada desde la placa positiva hasta la placa negativa, con una velocidad inicial de $v_0=2\cdot 10^6$ m/s

a) ¿Logrará llegar esta partícula hasta la placa negativa?

b) Si la respuesta es positiva, determine su velocidad de impacto; en caso contrario, ¿qué fracción de la distancia entre placas recorre antes de pararse?

La segunda Ley de Newton:

$$F=m a$$

La fuerza que ejerce el campo eléctrico es la fuerza de Lorentz

$F=q E$

El campo eléctrico entre las placas del condensador (supuestas éstas muy grandes respecto de la separación entre ambas), siendo $d$ la distancia entre ellas:

$E=\dfrac{V_c}d$

$V_c=\dfrac Q C$

Sustituyendo todo en (1)

$m a= \dfrac{qQ}{C d}$

Despejamos la aceleración

$a=\dfrac{q Q}{m C d}$

Como el campo eléctrico entre las placas es constante nos sale una aceleración constante, que provoca sobre la carga $q$ un m.r.u.a. La velocidad:

$v(t)=v_0-a t$

La carga se detendrá cuando $v=0 \to v_0=a t$ es decir , transcurrido un tiempo:

$t=\dfrac{v_0}a$

$t=\dfrac{v_0 m C d}{q Q}$

La distancia recorrida por la partícula hasta que se detiene:

$s(t)=v_0 t-\dfrac 1 2 a t^2$

$s=\dfrac{v_0^2 m C d}{q Q}-\dfrac 1 2 \dfrac{q Q}{m C d} \left ( \dfrac{v_0 m C d}{q Q} \right )^2$

$s=\dfrac{v_0^2 m C d}{2q Q}$

$$\boxed{\dfrac s d=\dfrac{v_0^2 m C}{2q Q}}$$

Si sustituimos los valores numéricos del ejercicio

$v_0=2\cdot 10^6 \ m/s \quad m=2\cdot 10^{-16} \ kg \quad C=0.01 \ F \quad q= 0.003 \ C \quad Q=1 \ C$

Obtenemos:

$\dfrac s d=\dfrac 1{750}$

Y ya podemos responder a las 2 preguntas del enunciado:

a) ¿Logrará llegar esta partícula hasta la placa negativa?

No

b) ¿qué fracción de la distancia entre placas recorre antes de pararse?

$\dfrac s d=\dfrac 1{750}$

Saludos.

[Alriga]

Un condensador plano paralelo de C=10 mF tiene sus placas en el vacío, y está cargado con Q=1000 mC. Una partícula de carga q=-3 mC y masa m$=2\cdot 10^{-16}$ kg es disparada desde la placa positiva hasta la placa negativa, con una velocidad inicial de $v_0=2\cdot 10^6$ m/s

a) ¿Logrará llegar esta partícula hasta la placa negativa?

b) Si la respuesta es positiva, determine su velocidad de impacto; en caso contrario, ¿qué fracción de la distancia entre placas recorre antes de pararse?

Como el campo eléctrico es conservativo, también puede resolverse por energías. Estableciendo arbitrariamente como punto de potencial cero (referencia) la placa del condensador de la que sale la partícula cargada disparada, inicialmente la partícula solo tiene energía cinética:

$E_i=\dfrac 1 2 m v_0^2$

Si la partícula se detiene en su movimiento a una distancia $x$ de la placa inicial, significa que en su "energía final" no hay energía cinética ($v=0$) y solo hay la energía potencial del campo eléctrico.

$U_f=q V(x)$

El potencial eléctrico lo calculamos a partir del campo eléctrico:

$\displaystyle V(x)=\int E(x) dx$

El campo eléctrico entre las placas del condensador (supuestas éstas muy grandes respecto de la separación entre ambas), siendo $d$ la distancia entre ellas, es constante y vale:

$E=\dfrac{V_c}d$

$\displaystyle V(x)=E \int dx=E x$

$V(x)=\dfrac{V_c}d \ x$

Como:

$V_c=\dfrac Q C$

Obtenemos:

$V(x)=\dfrac{Q}{C d} \ x$

La energía potencial "final" correspondiente al instante en el que la carga se detiene:

$U_f=q \ \dfrac{Q}{C d} \ x$

Igualando energía inicial y final:

$E_i=U_f$

$\dfrac 1 2 m v_0^2 =\dfrac{q Q x}{C d}$

Despejando:

$$\boxed{\dfrac x d=\dfrac{v_0^2 m C}{2q Q}}$$

Que es la misma expresión que habíamos obtenido en el post anterior aplicando la Segunda Ley de Newton.

Saludos.