1r ciclo Inducción y teorema de Poynting

[Tiresias]

Veréis, tengo un problema al que no termino de echarle el guante. Es el siguiente:

Un solenoide largo y estrecho de radio a tiene n espiras por unidad de longitud y está recorrido por una intensidad I= I_0-kt. Se coloca de manera coaxial con el solenoide un tubo conductor de conductividad sigma y permitividad y permeabilidad las del vacío. El radio interno del tubo es b > a y el radio externo c. Se pide calcular durante el tiempo que tarda en anularse la corriente:

a) la energía magnética almacenada en el solenoide por unidad de longitud
b) el flujo por unidad de longitud del vector de Poynting a través de la sección del tubo;
c) el balance energético mediante la comprobación del teorema de Poynting en el tubo conductor.

Bueno, pues he pensado lo siguiente, como la intensidad en el solenoide varía, también lo hace el campo magnético en su interior y por tanto el flujo de B, esto provoca una fuerza electromotriz en el tubo que genera corriente que a su vez provoca un campo magnético.

Quiero obtener cómo varía la intensidad en el tubo, pero me encuentro con las siguientes dificultades:

Si en vez de un tubo fuese un solenoide (o un tubo de espesor despreciable) sabría como hallar la intensidad, plantearía la ecuación diferencial (L longitud de los solenoides):

mu_0*n*k*pi*a^2 (variación del flujo del campo del solenoide de radio a) - mu_0*pi*b^2/L*dI/dt (variación del flujo del campo creado por el solenoide de radio b) = I*R

Resolviendo la ecuación diferencial obtendría una exponencial negativa con un término constante y podría seguir.

Mi problema está en que como el tubo tiene cierto espesor, J creo que no es uniforme y no sé cómo determinarlo. He tratado de considerar el tubo dividido en tubos de espesor infinitesimal, pero el flujo que los atravesaría sería más complicado, ya que a partir del radio b el campo iría decayendo (hay menos tubos externos que creen campo) y el flujo habría que integrarlo, pero como desconozco la J, no sé cómo avanzar.

Necesito J para conocer el flujo y el flujo para conocer J. ¿Alguna idea?

Gracias por adelantado.

[Tiresias]

Re: Inducción y teorema de Poynting

Bueno, ahora que creo haber entendido cómo escribir ecuaciones voy a explicar lo que he intentado:

En primer lugar, el campo creado por el solenoide interno sería:

$B_{solenoide}=\mu_{0}n(I_{0}-kt)$

Ahora vamos a tratar de calcular el campo creado por el tubo en la región del propio tubo. Para ello he pensado que si dividimos el tubo en tubos de espesor infinitesimal, en cada punto sólo contribuyen al campo los tubos exteriores, por ello creo que el campo en cada punto sería:

$B_{tubo}=\frac{\mu_{0}I}{L}=\mu_{0}\frac{\int J \mathrm{d}r \mathrm{d}l}{\int \mathrm{d}l}=\mu_0\int_\rho^c J\mathrm{d}r$

Una vez que tenemos el campo he intentado determinar el flujo de ese campo, es decir, el flujo que atraviesa cada tubo de grosor despreciable sería:

$\Phi=\int B_{tubo}\mathrm{d}S$

Si integramos el flujo para el tubo de radio r' tendríamos:

$\Phi=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_b^{r'} \rho\mathrm{d}\rho (\mu_0\int_\rho^c J\mathrm{d}r)$

Ahora aplicando la ley de inducción de Faraday y la ley de Ohm tendríamos la siguiente ecuación

$\epsilon= \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=\mu_{0}nk\pi a^2-\mu_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\int_b^{r'} \rho\mathrm{d}\rho (\int_\rho^c J\mathrm{d}r))=IR= \frac{J\mathrm{d}S2\pi r'}{\sigma\mathrm{d}S}=\frac{J2\pi r'}{\sigma}$

Y aquí es donde no sé despejar J.

[Tiresias]

Re: Inducción y teorema de Poynting

Viendo que de esa ecuación no se puede sacar nada, he intentado cambiar el enfoque y partir directamente de las ecuaciones de Maxwell, prácticamente lo que tengo es como no tener nada, pero bueno, allá va. Partiendo de:

$\nabla x E = -\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t};<br /> \nabla x B =\mu_{0}\sigma E+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac {\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$

Ahora suponiendo que B sólo tiene componente paralela al eje del solenoide (que llamaré en adelante f) y E sólo tiene componente tangencial que llamaré en adelante g):

$B=(0,0,B_z)=(0,0,f(r,t));E=(0,E_\phi,0)=(0,g(r,t),0)$

Y sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell:

$\frac{g(r,t)}{r}+\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}r}=-\frac {\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$

$-\frac {\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}=\mu_0\sigma g(r,t)+\mu_0\epsilon_0\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}$

Ahora aquí supongo que habría que tratar de relacionar g y f con los datos y resolver.