2o ciclo cilindro superconductor en un campo transversal

[arturo]

Hola necesito ayuda sobre como aplicar las condiciones de frontera para el siguiente problema:

Considere un cilindro circular superconductor infinitamente largo de radio $a$ en un campo magnético transversal. A grandes distancias del cilindro, el campo es uniforme y de magnitud $B_0$. Calcule los campos en el interior y en el exterior del cilindro.

Mi primer intento es el siguiente:

[arturo]

Re: cilindro superconductor en un campo transversal

se me olvido decir que se tiene que hacer considerando un diamagnetismo perfecto

[polonio]

Re: cilindro superconductor en un campo transversal

Hola necesito ayuda sobre como aplicar las condiciones de frontera para el siguiente problema:

Considere un cilindro circular superconductor infinitamente largo de radio $a$ en un campo magnético transversal. A grandes distancias del cilindro, el campo es uniforme y de magnitud $B_0$. Calcule los campos en el interior y en el exterior del cilindro.

Mi primer intento es el siguiente:

Buen intento.

Parece que no te ha salido en el post.

Ten en cuenta que en el interior del cilindro el campo $\vec{B}=\vec{0}$, pues es superconductor. Además, usa las condiciones de contorno sobre el cilindro y para distancia radial tendiendo a infinito (en este límite conoces el campo).

[arturo]

Re: cilindro superconductor en un campo transversal

Perdón es que me he quedado dormido

Entonces empieza así:

Por lo visto solo tengo que calcular el campo fuera del superconductor puesto que el diamagnetismo perfecto implica que el campo dentro del superconductor es cero.

Por lo tanto tengo resolver la ecuación de Laplace en el exterior del superconductor...

Asi pues se resuelve $\nabla ^2\varphi =0$ donde $\varphi$ es el potencial magnético, para desupés encontrar $\vec{B}$ por medio de $\vec{B}=-\mu_0 \nabla\varphi$

La solución para la ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora tengo que aplicar el gradiente para hallar B y utilizar la condición de frontera en infinito para ver que pasa y (aqui es donde no recuerdo pero ahorita investigo) la continuidad de la componente normal de B??

Bueno ahorita le sigo, gracias por leerme polonio.

[arturo]

Re: cilindro superconductor en un campo transversal

(A partir de este post empiezan las dudas y los tropiezos
Favor de corregir cualquier cosa )

Continuando con el primer acercamiento...

Haciendo el gradiente de $\varphi$ y viendo que $\vec{B}$ no diverge cuando $r\rightarrow \infty$, entonces queda

$\displaystyle -\frac{\vec{B}}{\mu_0} = \hat{e}_r\left [ \frac{B_0}{r} +(A_1 - \frac{B_1}{r^2}) \sin{\theta} -\sum_{n=2}^{\infty} \frac{nB_n}{r^{n+1}}\sin{n\theta} + (C_1 - \frac{F_1}{r^2} ) \cos{\theta} -\sum_{n=2}^{\infty} \frac{nF_n}{r^{n+1}}\cos{n\theta}\right ]$

$\displaystyle + \hat{e}_{\theta} \left [ (A_1 - \frac{B_1}{r^2}) \cos{\theta} +\sum_{n=2}^{\infty} \frac{nB_n}{r^{n+1}} \cos{n\theta} - (C_1 + \frac{F_1}{r^2} ) \sin{\theta} -\sum_{n=2}^{\infty} \frac{nF_n}{r^{n+1}}\sin{n\theta} \right ]$

Voy bien?? Ahora no se que sigue :P
Parecen ser muchas incógnitas y es ahí donde no veo como eliminarlas.Agradeceria si alguien me puediera explicar como continuar.

[polonio]

Re: cilindro superconductor en un campo transversal

Aplica las condiciones de contorno sobre las superficies del cilindro para eliminar ctes.

El salto normal de $\vec{B}$ es continuo sobre la superficie del cilindro, luego la componente $\vec{e}_r$ es nula para $r=R$, donde $R$ es el radio del cilindro.

Como no hay corrientes superficiales sobre el cilindro, el salto tangencial de $\vec{B}$ también es nula, así que la componente $\vec{e}_\theta$ también es nula para $r=R$.

[Jose D. Escobedo]

Re: cilindro superconductor en un campo transversal

Como a grandes distancias el campo exterior $B_o$es constante y es descrito como en coordenadas rectangulares (por su supuesta "uniformity")entonces:

$\displaystyle B_o \hat k = - \mu_o \nabla \varphi \Rightarrow$

$\displaystyle \varphi = -\frac{B_o}{\mu_o} z =-\frac{B_o}{\mu_o}r \cos \theta$

Para que esto sea cierto a grandes distancias $\Rightarrow$

Todos los coeficientes tienen que ser cero exeptuando los coeficientes con los terminos $\cos n \theta$ ademas dentro de estos, los terminos $\displaystyle \frac{F_n}{r^n} \sim 0$ porque son dominados por los terminos de $C_n r^n$, ademas de que son pequeños, con lo que finalmente nos da que $C_1=-\frac{B_o}{\mu_o}$
Ahora como el material es diamagnetico existe otro campo creado por el mismo material que cuando se superpone oponiendose al campo exterior en el interior se hace 0, entonces $B_o =0$ como te fue sugerido por Polonio. Ademas esta contribucion magnetica es como un "magnetic dipole" entonces para el exterior cuando $a\le r$ se tendra la forma del campo magnetico como sigue: $\displaystyle B(r, \theta) =-\mu_o \nabla( -\frac{B_o}{\mu_o} r\cos \theta +\sum_{k=1}^n \frac{F_n}{r^n} \cos \theta ) \Rightarrow$ entonces utilizando las conciones de contorno se tiene que:

$\displaystyle B(r,\theta)=B_o \cos \theta (\frac{a^2}{r^2}-1)$ para $a\le r$