1r ciclo Carga encerrada

[jorgext]

Ejercicio: Considere una esfera con una densidad de carga esféricamente simétrica dada por $\rho(r)=\rho_0 e^{-r/r_0}$ donde $\rho_0$ y $r_0$ son constantes, $r$ es el radio. Calcule la carga total. Calcule el valor promedio del radio de carga (piense cómo definir radio promedio de carga).


Mi respuesta: La carga encerrada en un volumen $V$ esta dada por: $Q=\int_V \rho(r) dV$ por lo que hago:

$Q = \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho_0 e^{-r/r_0} [r \sin{\phi}] d\theta d\phi dr$

Lo que me ha resultado:

$Q=4\pi \rho_0 r_0(-R e^{-R/r_0} - r_0 e^{-R/r_0} + 1)$

Me gustaría ver si el resultado es correcto, y que me ayudaran a definir el valor promedio del radio de carga.

Para lo último se me ocurre algo como sumar todos los valores de $Q$ para $R$ y dividirlos por $R$, así:

$\bar{Q}=\dfrac{\int_0^R Q dR}{R}$

Aunque no estoy seguro del sentido que tome esta expresión.

[Metaleer]

Re: Carga encerrada

Hola

La carga encerrada para casos donde se tenga simetría esférica no necesita que recurras a integrales triples: basta con considerar una concha esférica de radio $r$ y grosor $dr$. La superficie de la esfera es $4\pi r^2$ y por tanto, el volumen diferencial de la esfera será $dV = superficie \cdot grosor = 4\pi r^2 dr$. Alternativamente, sabes que el volumen de una esfera es $V = 4/3 \pi r^3$. Diferenciando con respecto a r: $dV = 4\pi r^2 dr$.

Luego:

$\displaystyle \rho = \frac{dq}{dV} \Rightarrow \rho dV = dq \Rightarrow Q = \int_0^R \rho(r) dV = \int_0^R \rho_0 e^{-r/r_0} 4\pi r^2 dr = 4\pi \rho_0 \int_0^R e^{-r/r_0} r^2 dr$

Integrando por partes, la última integral a mi me sale (sin incluir las constantes que han salido fuera de la integral):

$\displaystyle \int_0^R e^{-r/r_0} r^2 dr = \left[-r_0 e^{-r/r_0} (2 r_0^2 + 2 r r_0 + r^2)\right]_0^R$

Si no me equivoco en los cálculos, al evaluar los dos límites en la integral anterior y llevándolo al principio, resulta que:

$Q = 4r_0\rho_0\pi\left(2r_0^2 e^{R/r_0} - R^2 - 2 r_0 R - 2 r_0^2\right)e^{-R/r_0}$

Lo del valor promedio del radio de carga si te digo la verdad no sé muy bien a qué se refiere, si tienes en cuenta la definición que tiene en Cálculo, parece ser que es lo que has puesto, pero no pongo la mano en el fuego.

Saludos.

[Fastolfe]

Re: Carga encerrada

Mi respuesta: La carga encerrada en un volumen $V$ esta dada por: $Q=\int_V \rho(r) dV$ por lo que hago:

$Q = \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \rho_0 e^{-r/r_0} [r \sin{\phi}] d\theta d\phi dr$

Hola, creo que el diferencial de volumen en coordenadas esfericas es:

$dV=r^2 sin\phi drd\theta d\phi$

[polonio]

Re: Carga encerrada

Pues, sí señor, faltaba una $r$ a Jorge.

Si se hace como dice Metaleer (donde ya está integrado $\int _0 ^{\pi} sen (\phi) d \phi \int _0 ^{2 \pi} d \theta = 4 \pi$) también te tiene que salir bien.

[jorgext]

Re: Carga encerrada

toda la razón... me faltaba un $r$, muchas gracias