1r ciclo Energía magnética de un cilindro rotando

[[Beto]]

Hola, en esta oacasión estoy intentando resolver un ejercicio, y aparentemente lo he resuelto asi que aca lo colóco a ver si me corrigen:

Enunciado:

Determinar la energía $U$ del campo magnético correspondiente a la unidad de longitud de una superficie cilínrica infinita de radio $R$, cargada uniformemente con una densidad superficial $\sigma$ y que gira en torno a su eje con una velocidad angular $\omega$.

(a) Expresar mediante el momento magnético $\mu$, de la unidad de longitud de superficie cilíndrica en rotación, la energía $U$.

(b) Determinar el momento magnético $\mu$ por unidad de longitud de la superficie cilíndrica en rotación.

Solución:

Apartado (a):

Dividiré al cilindro en infinitas espiras, entonces cada uan de ellas generará un campo magnético:

$$\dd B=\frac{u_oR^2\dd i}{2(R^2+z^2)}$$

Y además como:

$$\dd i=\frac{\omega \dd q}{2\pi}$$

Luego considerando la densidad superficial de carga:

$$\begin{aligned}<br /> \sigma&=\frac{\dd q}{\dd S}=\frac{\dd q}{2\ R \dd z}\\<br /> \Longrightarrow\dd q&=2\pi R \sigma \dd z<br /> \end{aligned}<br />$$

Reemplazando (3) y (2) en (1), y luego integrando:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> B=&\frac{u_oR^2\omega\sigma}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\dd z}{(R^2+z^2)^{3/2}}\\<br /> B=&u_o R\omega\sigma<br /> \end{aligned}<br />$$

Ese campo obviamente orientado en la dirección del eje del cilindro.

Finalmente si se considera a $\mu$ como el momento magnético por unidad de longitud del cilindro, la energía asociada a ese campo será:

$$U=-\mu u_o R\omega\sigma$$

Apartado (b):

Esta parte es más sencilla pues solamente hay que recordar que $\dd\vec \mu=A\dd i$, y luego como $A=\pi R^2$, y además de (3) y (2), se tiene que $\dd i=\omega r \sigma\dd z$, se obtiene que:

$$\mu=\frac{\dd \vec\mu}{\dd z}=\pi R^3 \sigma \omega$$

Y con eso terminaría todo, la duda que tengo es que para ese ejercicio las respuestas en el sistema gaussiano son:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> U=&\frac{2\mu^2}{R^2}\\<br /> \mu=&\frac{\sigma\pi R^3}{c}\omega<br /> \end{aligned}<br />$$

convertir de un sistema a otro si se , el problema es que en mi respuesta aparece al densidad superficial de carga y en la respuesta que se debe de obtener esta el momento magnético al cuadrado ... seguramente no me estoy dando cuenta de algo asi que pido me den una mano.

[polonio]

Re: Energía magnética de un cilindro rotando

El primer apartado (aunque lo tienes bien) se puede resolver mucho más fácilmente usando la ley de Ampère.

Como el cilindro es de longitud infinita y tenemos una corriente azimutal (pues el cilindro cargado se mueve girando alrededor del eje):

$\vec{B}= \mu _0 K \vec{u}_z$ , dentro
$\vec{B}= \vec{0}$ , fuera

Por otra parte, la densidad de corriente superficial se puede expresar como:

$\vec{K}= \sigma \vec{v}= \sigma \omega R \vec{u}_{\phi}$

(donde $\phi$ es la coordenada azimutal).

Así, tienes:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , dentro
$\vec{B}= \vec{0}$ , fuera

El resto lo haría igual.

[polonio]

Re: Energía magnética de un cilindro rotando

Vamos con la segunda parte (esta mañana no tuve tiempo para acabar de responderte).

Cuando comparas con la solución en el sistema gaussiano ten en cuenta que saber convertir aquí no es tan sólo multipplicar o dividir por un factor y listo: la constante eléctrica, por ejemplo, en el sistema internacional tiene dimensiones: $\frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \approx 8.98 \times 10 ^ 9 \frac{N}{m^2 C^2}$, mientras que en es sistema gaussiano es adimensional.

Echa un vistazo aquí.

(Espero que así puedas obtener los mismos resultados... suponiendo que la solución que te dan en el sistema gaussiano es buena, porque a mí me da lo mismo que a ti en el sistema internacional.)

[[Beto]]

Re: Energía magnética de un cilindro rotando

El primer apartado (aunque lo tienes bien) se puede resolver mucho más fácilmente usando la ley de Ampère.

Como el cilindro es de longitud infinita y tenemos una corriente azimutal (pues el cilindro cargado se mueve girando alrededor del eje):

$\vec{B}= \mu _0 K \vec{u}_z$ , dentro
$\vec{B}= \vec{0}$ , fuera

Por otra parte, la densidad de corriente superficial se puede expresar como:

$\vec{K}= \sigma \vec{v}= \sigma \omega R \vec{u}_{\phi}$

(donde $\phi$ es la coordenada azimutal).

Así, tienes:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , dentro
$\vec{B}= \vec{0}$ , fuera

El resto lo haría igual.

Hola, esta parte a primera vista me pareció que si la entendí, pero ahora que lo pienso encuentro un problema para poder aplicar la ley de Ampere.

El problema que encuentro es que para definir una densidad de corriente, se necesitaría un área transversal, en este caso si es un cilindro su espesor es despreciable, no veo como tener una densidad de corriente, entonces ¿cómo hago?

Supongo que es similar a un solenoide infinito, y al aplicar la ley de ampere me queda algo asi:

$$B=\mu_o\frac{I}{\ell}$$

En resumidas cuentas creo que no he comprendido muy bien como aplicar la ley de Ampere, agradecería que me aclaren un poco el tema.

Gracias.

[polonio]

Re: Energía magnética de un cilindro rotando

Sí, señor. Es igual que para un soleniode largo (de longitud $l$). Sólo tienes que ver que $N$ espiras por las que pasa una intensidad $I$ arrolladas muy densamente es equivalente a una densidad de corriente superficial $\vec{K}=\frac{NI}{l}\vec{u}_{\phi}$.

A la hora de aplicar Ampère el circuito amperiano es el mismo que el que esas para el soleniode, así:

$\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{r}=\mu_{0}I_{total}=\mu_{0}\int_{\gamma} \vec{K}\cdot\vec{n}dl=\mu_{0}\int_{0}^{l}\vec{K}\cdot\vec{u}_{\phi}dz=\mu_{0}\int_{0}^{l}Kdz$

Observa cómo al calcular la intensidad total tenemos que calcular el flujo de la densidad de corriente superficial a través de cualquier superficie apoyada en el circuito amperiano $C$, pero esta densidad superficial intersecta en una sección del cilindro $\gamma$ (con vector normal $\vec{n}$ que es tangente al cilindro y perpendicular a dicha sección).

A partir de aquí la cosa ya es sencilla:

$B l = \mu _0 Kl$

$\vec{B}= \mu_0 K\vec{u}_{\phi}$