Otras carreras No se como afrontar este problema de electrostatica

[chirrisclas]

Hola amigos:

Me pongo en contacto con vosotros a traves del foro para ver si alguien me puede ayudar con este ejercicio que intente hacer pero no se por donde empezarlo. Sin más, os dejo el enunciado para ver si alguien me puede echar una mano.
Un saludo y muchas gracias de antemano.


" Suponga que está ayudando a diseñar un mecanismo de aceleración electrónica para un nuevo tubo de televisión. El electrón se mueve hacia un anillo circular cargado de 5 cm de radio a lo largo del eje perpendicular a la superficie del anillo, el cual posee una densidad de carga lineal de 1.20x10^-8 C/m (1.20 por 10 elevado a -8). Cuando el electrón está a 20 cm del anillo tiene una velocidad de 8x10^6 m/s (8 por 10 elevado a 6). Se le ha pedido que calcule la velocidad del electrón a su paso a través del centro del anillo. La carga del electrón es de 1.60x10^-19 C (1.60 por 10 elevado a -19) y su masa es de 9.11x10^-31 kg. (9.11 por 10 elevado a -31) "

[polonio]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

Primero, tienes que calcular el campo que ejerce en anillo en un punto de su eje.

Como el electrón está en dicho eje, sufre una fuerza: $\vec{F}=q_e \vec{E}$.

Sabes, entonces, la aceleración que sufre el electrón: $\vec{a}=\frac{q_e}{m_e}\vec{E}$.

Como tienes la velocidad inicial, sólo tienes que calcular la velocidad al llegar al centro del anillo. (Como necesitas la velocidad en función de la posición, usa la regla de la cadena: $a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}v$ y puedes integrar: $\int vdv = \int a dx$).


Otra forma de hacerlo: calcula el potencial creado por el anillo. La carga del electrón por la variación de potencial es la variación de energía potencial electrostática. Pues la variación de energía potencial tiene que ser igual a la disminución de energía cinética: $\Delta E_c = -\Delta U$, quedando: $\frac{1}{2}m_e v_f ^2 - \frac{1}{2}m_e v_i ^2= q_e ( V(x_i) - V(x_f))$

[chirrisclas]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

En la segunda opcion que das de resolucion, la energia potencial a qué seria igual?

[polonio]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

La energía potencial electrotática es igual a la carga por el potencial: $U_{elec.} = q_e V(x)$. Por eso tienes que calcular el potencial creado por el anillo en cualquier punto de su eje en esta opción (ojo, estoy tomando el eje $OX$ como eje del anillo).

[chirrisclas]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

Sigo perdido en un asunto, la densidad de carga lineal en donde la tendria que usar?

[polonio]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

Para calcular el campo o el potencial eléctricos por integración directa:

$\vec{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \int \frac{\lambda (\vec{r}- \vec{r}')d\vec{r}'}{|\vec{r}- \vec{r}'|^3}$

$V=\frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \int \frac{\lambda d\vec{r}'}{|\vec{r}- \vec{r}'|}<br />$

($\vec{r}$ son los puntos del eje y $\vec{r}'$ son los del anillo)

($\lambda$ es la densidad lineal de carga)

[alespa07]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

Wenas. En mí opinión, la solución más inteligente y acertada es la que te lleva al resultado con el menor esfuerzo (calculatorio en este caso). En este caso, la segunda posibilidad que te ofrece Polonio es la más directa ya que es más facil calcular el potencial creado por el anillo en un punto de su eje que no el campo eléctrico ( que no es que sea complicado sino que es más largo). En efecto tienes que recordar que la energía potencial eléctroestática es igual al trabajo realizado para mover tu partícula de tu punto inicial a tu punto final. Esto es: W=q(Vf-Vi)=(Uf-Ui). Para hallar el potencial en cualquier punto del eje haces lo de siempre: Troceas el anillo en elementos infinitesimales de carga, encuetras el valor del potencial creado por dicho elemento e integras para el anillo (recuerda que aquí r es constante y por eso la integral es muy fácil). Si tienes alguna duda pregunta. Que vaya bien.

[chirrisclas]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

Pues aunque parezca absurdo la duda que tengo o mas bien el problema es con las integrales... que se me dan un poco mal. Cómo quedaria esta pro favor?

Un saludo

[polonio]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

El potencial te queda, en el eje $OX$:

$V(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int_{0}^{2\pi}\frac{\lambda Rd\varphi'}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}=\frac{\lambda R}{2\epsilon_{0}\sqrt{R^{2}+x^{2}}}$

[alespa07]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

Wenas. Creo que lo que te cuesta es el planteamiento de la integral más que su cálculo ya que, como verás es realmente sencilla. Te he adjuntado un esquema del anillo para que te sea más visual. Escoges un punto P cualquiera del eje del anillo a una distancia z del centro de dicho anillo (porque aquí hemos escogido que el eje z coincidiera con el eje de simetría del anillo). Luego, como te explicabas antes, escoges un elemento infinitesimal de carga dq cualquiera de la distribución . Entonces, una vez calculado el potencial creado por dq en el punto P, tendremos que sumar las contribuciones de todos los elementos infinitesimales de carga, es decir integrar para todo el anillo. El cálculo es realmente sencillo como podrás comprobar:

Por definición el potencial infinitesimal dV creado por dq en el punto P es:

$dV=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r}$

Con r la distancia entre dq y el punto P, tal y como indica el esquema. Entonces tendrás que:

$V_{anillo}=\int_{anillo} dV=\int_{anillo}\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 r}$

Pero ,como puedes ver, para todos los elementos infinitesimales del anillo la distancia r es constante y la integral te queda:

$V_{anillo}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0r}\int_{anillo}dq$

Y por último la suma de las cargas infinitesimales de todos los elementos (o sea la integral) es obviamente la carga total Q del anillo. Pero, al ser una distribución con densidad lineal de carga $\lambda$ tendrás que

$Q=\lambda2\pi a \rightarrow V_{anillo}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\lambda}{2\varepsilon_0}\frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}}$

Donde has expresado r en función de a y z. Entonces te queda el potencial creado por el anillo en cualquier punto P del eje que puedes aplicar a tu fórmula de conservación de la energia para el electrón.

Piensa que si usaras la primera opción que te propuso Polonio, el cálculo del campo eléctrico sigue el mismo esquema pero has de recordar que se trata de un vector y no de un escalar que es el caso del potencial. El resto de los cálculos te los dejo a tí.

Que vaya bien.

[alespa07]

Re: No se como afrontar este problema de electrostatica

Bueno, veo que mientras te contestaba Polonio ya lo había hecho. Espero haberte ayudado igualmente.
Hasta luego.