1r ciclo Fuerza magnética sobre un cilindro.

[jorgext]

Me han presentado un problema:

¿Cuál es la fuerza magnética que es ejercida sobre un cilindro que esta rotando sobre su eje largo dentro de una bobina que lo envuelve en el mismo eje?

Usando la fuerza de Lorentz, tenemos:

$<br /> \vec F = q (\vec v \times \vec B)<br />$

Ahora, el campo dentro de la bobina es proporcional a la corriente que circula por ella y resulta en dirección del eje largo de la bobina.

El cilindro solo rota sobre su eje largo, por lo tanto, solo tiene velocidad tangencial, no traslacional. Con esto resulta que la velocidad de un punto del cilindro esta dada por

$<br /> v = \omega r<br />$

Resultaría entonces:

$<br /> F = q v B<br />$

En dirección radial y variaría en el sentido de la rotación del cilindro.

¿Es este razonamiento correcto?

¿Cómo sería el resultado en forma vectorial?

Me resultó:

$\vec F = q \omega B_0 r (\cos{\theta},\sin{\theta})$

donde $\theta$ es el ángulo de rotación.

[[Beto]]

Re: Fuerza magnética sobre un cilindro.

Hola, si me parece correcto tu razonamiento, y para resolver todo de forma vectorial, solo bastaría con considerar que $\vec v=\omega r(\cos \theta,\sin\theta,0)$ y que $\vec B=(0,0,B_o)$ para luego realizar el producto vectorial $\vec v\times\vec B$.

[polonio]

Re: Fuerza magnética sobre un cilindro.

Pues no creo que lo puedas resolver así, considerando como una carga puntual el cilindro que rota. No veo ni una sola integral...

Sobre cada elemento de carga del cilindro tendrás una fuerza:

$d\vec{F}=dq \vec{v} \times \vec{B}$

Ahora, tomando coordenadas cilíndricas ${r, \theta, z}$:

$d\vec{F}=dq r \omega\vec{u}_{\theta} \times B\vec{u}_z$

Y:

$dq = \rho dV = \rho r dr d\theta dz$

Ya puedes integrar:

$d\vec{F}=\rho r^2 dr d\theta dz \omega\vec{u}_{\theta} \times B\vec{u}_z$

para las dimensiones del cilindro ($\rho$ es la densidad de carga del cilindro).

(Y, ojo con $\vec{u}_{\theta} \times \vec{u}_z = \vec{u}_r$, que depende de $\theta$)

[Sartie]

Re: Fuerza magnética sobre un cilindro.

Pues no creo que lo puedas resolver así, considerando como una carga puntual el cilindro que rota. No veo ni una sola integral...

Sobre cada elemento de carga del cilindro tendrás una fuerza:

$d\vec{F}=dq \vec{v} \times \vec{B}$

Ahora, tomando coordenadas cilíndricas ${r, \theta, z}$:

$d\vec{F}=dq r \omega\vec{u}_{\theta} \times B\vec{u}_z$

Y:

$dq = \rho dV = \rho r dr d\theta dz$

Ya puedes integrar:

$d\vec{F}=\rho r^2 dr d\theta dz \omega\vec{u}_{\theta} \times B\vec{u}_z$

para las dimensiones del cilindro ($\rho$ es la densidad de carga del cilindro).

(Y, ojo con $\vec{u}_{\theta} \times \vec{u}_z = \vec{u}_r$, que depende de $\theta$)

Estoy de acuerdo, pero si el cilindro es macizo el resultado seria el mismo integrando que sin integrar, pues estarias integrando constantes.
La fuerza neta total que sentiría el cilindro es cero y en cada punto del cilindro este sentiría una fuerza hacia el eje o hacia fuera del eje segun sea el campo magnetico en la direccion z o -z, de forma que si el cilindro no fuese macizo este se "aplastaría" hacia su centro o se despedazaría.

[polonio]

Re: Fuerza magnética sobre un cilindro.

Estoy de acuerdo, pero si el cilindro es macizo el resultado seria el mismo integrando que sin integrar, pues estarias integrando constantes.
La fuerza neta total que sentiría el cilindro es cero y en cada punto del cilindro este sentiría una fuerza hacia el eje o hacia fuera del eje segun sea el campo magnetico en la direccion z o -z, de forma que si el cilindro no fuese macizo este se "aplastaría" hacia su centro o se despedazaría.

¡Sssssh!, no le chives el resultado.

Ya le di la pista de que la fuerza es radial: deja que integre $\vec{u}_r$, que depende del seno y del coseno de $\theta$, para todo el cilindro $(0 \le \theta \le 2\pi)$ y vea que la fuerza neta sea nula o que lo seque por simetría... ¡si la densidad de carga es uniforme o radial!, porque si no lo es, no tiene por qué anularse.

También podría suponerse la distribución superficial.

De todas formas, tal como veo el enunciado creo que se referirán a un cilindro cargado uniformemente en su volumen y que es rígido.

Cuando dices macizo (distribución volumétrica) quieres decir rígido (indefoemable), ¿no? (Soy muy quisquilloso con el lenguaje)

[Sartie]

Re: Fuerza magnética sobre un cilindro.

Cuando dices macizo (distribución volumétrica) quieres decir rígido (indefoemable), ¿no? (Soy muy quisquilloso con el lenguaje)

exactamente, al decir macizo me refiero a que es un solido rigido perfecto, sin efectos de marea