Otras carreras Pregunta Corriente y conductividad variable

[mrhawi]

Buenas denuevo, me surge otra pregunta acerca de este tema, resulta que estoy resolviendo el siguiente ejercicio:



En la parte b tengo el problema resulta que al sacar la resistencia me queda un logaritmo natural, pero al evaluar en los limites de integracion que puse (r2 a r1), me da resistencia negativa lo cual no es correcto (supongo), la pregunta es, de qué forma debiera proceder, porque si lo hago al revés en la pregunta "a" me daria negativo, espero una respuesta por favor, gracias de antemano y saludos =)

PD: Acá está la integral a la que me refiero:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[JiraiyA]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Hola ,seria adecuado que hagas un grafico para poder ayudarte ,donde detalle en que direccion va la corriente medida 3A , y cuales son los extremos a los cuales les aplicas la diferencia de potencial?

[mrhawi]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

El problema es que el ejercicio va así xD, es por eso mi duda más que nada, o sea yo interpretaria a mi conveniencia pero no estoy seguro, gracias por responder saludos

[JiraiyA]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

voy intentar resolverlo , quizas me alcanze tiempo jeje Pero de todas maneras lo intentare , no esperes una respuesta para hoy dia jeje

[polonio]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Vamos a realizarlo en tres pasos (cuatro si hubiesen más de un medio óhmico).


1- Despreciamos efectos de borde, con lo que tenemos que la dirección del campo eléctrico y de la densidad de corriente es radial. Tomamos origen de coordenas en el centro de las esfera y coordenadas esféricas ${r, \theta, \phi}$:

$\vec{E}=E\vec{u}_r \, \, ; \, \, \vec{J}=J\vec{u}_r$


2- Aplicando las ecuaciones diferenciales oportunas y la ecuacioón constitutiva (ley de Ohm), obtenemos de qué coordenadas dependen los campos:

$\vec{\nabla} \times \vec{E}= \vec{0} = \frac{1}{r sen(\theta)}\frac{\partial E}{\partial \phi}\vec{u}_\theta - \frac{1}{r}\frac{\partial E}{\partial \theta}\vec{u}_\phi$

Así, como cada componente ha de ser nula, vemos que $E$ no depende ni de $\theta$ ni de $\phi$.

$\vec{\nabla} \cdot \vec{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 J)}{\partial r}$ (por ser la corriente estacionaria)

$\vec{J}= \sigma \vec{E}$

Así, nos queda:

$J= \frac{C}{r^2}$, $\,\,E= \frac{C}{\sigma r^2}$

donde C es una constante.



3- Ahora, como conoces la intensidad total de fluye de una esfera a otra (totamos como superficie por la que atraviesa toda la corriente, una esfera concéntrica a los conductores: $d\vec{S}= r^2 sen(\theta) d \theta d\phi \vec{u}_r)$:

$I=\int _S \vec{J} \cdot d\vec{S} \int_s \frac{C}{r^2}r^2 sen(\theta)d\theta d\phi= 4 \pi C$

Despejando, tenemos:

$C=\frac{I}{4 \pi}$

Y, de aquí:

$\vec{J}= \frac{I}{4 \pi r^2} \vec{u}_r$

$\vec{E}= \frac{I}{4 \pi \sigma r^2} \vec{u}_r$

Ya podemos calcular la diferencia de potencial:

$V= \int _{V(r2)} ^{V(r1)} dV = -\int _{r2} ^{r1} \vec{E} \cdot d\vec{r}= \int _{r1} ^{r2} \frac{I dr}{4 \pi \sigma r^2} = \frac{I}{4 \pi \sigma}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$

(observa con atención los límites de integración).

Así que ya tenemos:

$R = \frac{V}{I}= \frac{1}{4 \pi \sigma}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$

(4- Si hubiesen más de un medio óhmico, tendrías que analizar las condiciones de contorno en la superficie de separación de los medios.)

[JiraiyA]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Bueno , nuestro amigo polonio considero aquel caso , en el la densidad de corriente era radial , se ve que el es muy conocedor de estos temas , pero considerando mrhawi que no hayas entendido su solucion , yo mas bien habia pensado en calcular por medio de la relacion

$R=\rho\frac{L}{A}$

La resistencia de la esfera tomando en cuenta la diferencia de potencial aplicada en dos puntos diametramente opuestos .
Para calcular la resistencia de esta esfera (constituido del material de conductividad 0.05) se tiene que tener en cuenta que su seccion A es variable de esta manera

${\mathrm{d}}R=\rho\frac{{\mathrm{d}}L}{{\mathrm{d}}A}$

en la Fig 1

${\mathrm{d}}R=\rho\frac{{\mathrm{d}}x}{r{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}}\theta}<br />$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Pero ( fig 2 ) si consideramos un cilindro de longitud L de rabio b contiene a otro cilindro de radio "a" , asi que si retiramos el cilindro de radio a , quedaria como queda en la figura , la resistencia de esta seria

$R=\rho\frac{L}{\pi (b^2-a^2)}$


Ahora planteando el caso de una esfera (r=b)con una esfera concentrica vacia (r=a) (fig 3)


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


de la geometria tenemos :


$<br /> r2^2=a^2-x^2$

$<br /> r1^2=b^2-x^2$


integrando
$\int_0^R \mathrm{d}R =\int_0^c \rho\frac{1}{\pi} (\frac{1}{b^2-x^2}-\frac{1}{a^2-x^2})<br /> \mathrm{d}x$



$<br /> R=\rho\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2b}(\ln \frac{b+c}{b-c})-\frac{1}{2a}(\ln \frac{a+c}{c-a}))<br />$

Lo que pasa aqui es que he tomado como limites de integracion 0 a C , pues si se toma de 0 a b , sale una indeterminacion esto se debe a que en los extremos el Area tiende a ser cero , por lo tanto la resistencia tiende a ser infinita .
Esta formula aproxima muy bien la resistencia total si es que haces que
b-c se aproxime a 0 ,pero nunca cero porque saldria infinita la resistencia

Espero haberte ayudado,corrijanme si estoy mal

[polonio]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Mi exposición es mucho más geneal que la que propones, JiraiyA.

Tu proposición sólo es válida si la conductividad (o resistividad) es homogénea. La que yo propongo es válida si, efectivamente, la dirección de la corriente (y del campo eléctrico) es radial, cosa que pasa entre dos electrodos esféricos siempre que la conductividad no varíe o varíe sólo con la coordenada radial.

Lo de $R= \rho \frac{L}{A}$, sólo es válido para calcular la resistencia de medios homogéneos (la resistividad, $\rho$, o conductividad, $\sigma=\rho ^{-1}$, vale lo mismo en todos los puntos del medio), rectilíneos (de longitud $L$) y se sección uniforme, $A$ (no se estrecha ni se ensancha).

Lo que propones es un truco geométrico que sólo vale si, repito, la conductividad es uniforme y hay que tener bastante habilidad con la geometría y es un método con mucha probabilidad de equivocarse en el resultado final. Te lo digo por experiencia. La definición de resitencia es: $R=\frac{V}{I}$. Esto no falla.

Además, teniendo los campos en el medio puedes calcular casi cualquier cosa que te pidan.


Po otra parte: te has equivocado de cabo a rabo. Los conductores son esféricos, no cilíndricos.

[JiraiyA]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

pues yo tenia entendido que vale para cuando la conductividad es variable tambien , solo que yo lo he aplicado para un caso especifico cuando es constante .simplemente en :

$\int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^r \sigma r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}R =\int_0^l \mathrm{d}x$

asumes que es un $\sigma$= constante ya que es una region infinitesimal.


y poner que $\sigma =\frac{0.005}{r}$ en $\int_0^R \mathrm{d}R =\int_0^c \frac{1}{\sigma} \frac{1}{\pi} (\frac{1}{b^2-x^2}-\frac{1}{a^2-x^2}) \mathrm{d}x$, integras y te sale otro valor , si es valido para cualquier expresion matematica de la conductividad
Pues parece que no la has cojido aun , yo no he planteado en ningun momento que los conductores sean cilindricos , sino que he tomado un elementro diferencial de la esfera (fig 3) , ese elemento diferencial si es un cilindro diferencial de longitud
$\mathrm{d}x$ y de radios interno y externo a y b respectivamente

[polonio]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Sí lo he cojido, por eso, insisto: te has equivocado, está mal, lo siento. El elemento de esfera de sección cilíndrica no tiene los radios que tú pones, pues sería un cilindro. De hecho, intentando tomar una esfera, acabas trabajando con un cilindro y obtienes la resistencia para un cilindro.

Y, repito, no es un método general y no sirve para conductividad no uniforme. Sólo tienes que ver que el resultado que obtienes es incorrecto.

Viendo que el resultado es totalmente incorrecto (¿qué más pruebas quieres?), te tendrías que dar cuenta de lo arriesgado y complicado (geométricamente) que es tu método.

[Xagi]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Hola, percato un malentendido, primero entendamos que Jiraiya propone otra direccion de corriente, sin embargo en el procedimiento que realiza, ocurren errores en los limites en la formulación, sin embargo contrariamente a lo que dice polonio creo que si es factible ultilizar la formula de Jiraiya para un diferencial si la resistividad varia se incluye su funcion en la integral...para que Jiraiya aplicara su metodo tuvo que tener en cuenta el agujero y no restarlo al ultimo ademas no es una relacion válida. En general la resolucion del problema es la de polonio que considera una dirección radial. Si se me permite mas tarde mandare una solucion con la suposicion de Jiraiya.

[polonio]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

No digo que no se pueda resolver como dice JiraiyA, sino que es "peligroso", esto es, es muy, muy fácil equivocarse: mira qué le ha pasado. Son ganas de tomar una esfera como trocitos de conductores rectilíneos...

Por otra parte, si tenemos la definición y podemos calcular el campo, la corriente,... ¿para qué enredar tanto? Además, trabajando con los campos sabemos qué estamos haciendo.

Por cierto, el método que propongo sirve aunque el campo no sea radial (sólo tenenmos que ver en qué dirección va) pero en este caso sí lo es.

[JiraiyA]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Bueno polonio , valoramos tu consejo .Yo no trato de imponer nada a nadie , yo solo quise ayudar a mrhawi y darle una idea como se trabaja cuando hay secciones variables y mas aun cuando no se sabe la direccion de la corriente .

Por algo dije , corrijanme si me equivoco ...

[polonio]

Re: Pregunta Corriente y conductividad variable

Haces lo mismo que yo... intentar ayudar. Por eso, lo que creo que está bien te lo digo (y valoro tu esfuerzo) y lo que creo que no está bien, también te lo digo (y sigo valorando tu esfuerzo).