1r ciclo Índice de refracción y frecuencia

[vpleader]

Buenos días

He aquí una minipregunta de examen: demostrar (matemáticamente) que el índice de refracción es independiente de la frecuencia.
Supongo que dicha demostración debe pasar por las ecuaciones de Maxwell.
¿Alguna idea?

[aLFRe]

Re: Índice de refracción y frecuencia

Buenos días

Buenos días.

He aquí una minipregunta de examen: demostrar (matemáticamente) que el índice de refracción es independiente de la frecuencia.
Supongo que dicha demostración debe pasar por las ecuaciones de Maxwell.
¿Alguna idea?

Pues lo siento porque el índice de refracción SÍ depende la frecuencia
en los materiales reales
y una prueba empírica de esto es la dispersión
( separación de la luz blanca en colores ) por un prisma
luego dificilmente vas a demostrar eso...
aunque te animo a intentarlo puesto que si lo consigues puedes abrir un nuevo
campo de la Física.

Supongo que conoces el oscilador de tus clases de Física General y de Mecánica
y vamos a pensar sólo en el campo eléctrico.
Cuando la luz incide sobre un material cada elemento del material, un átomo por ejemplo,
este se polariza.
Puesto que una onda electromagnética transporta una perturbación en los campos
eléctrico y magnético... lo que tienes es un oscilador con amortiguamiento forzado.

La realidad es que la onda puede atenuarse y para ciertas frecuencias presenta absorción.
Te aconsejo que si la pregunta es de un examen de tu profesor
recurras a él y le plantees tu duda a fin de que te aclare la pregunta que citas.

Saludos.

[vpleader]

Re: Índice de refracción y frecuencia

Gracias Alfre, si YO si sé que n depende de la frecuencia, el problema es que mi profesora no (aparentemente), y ha puesto eso en un examen.

Por pensar bien de ella (que en su caso es hacer un esfuerzo grande) diría que lo que quería era que lo demostrasemos usando sólo las ecuaciones de Maxwell, que es lo que yo querría averiguar, porque desde luego la dependencia existe, como tu bien dices.
Resumiendo, en caso de repetirse la pregunta, estoy entre intentar hacer alguna demostración cutre o citarle libros donde aparezca explicada la dependencia.

[polonio]

Re: Índice de refracción y frecuencia

¡Ejem!, va ser que tu profesora tiene razón.

Vamos a verlo: cuando una onda se refracta, tan pronto como llega un frente de onda sobre la seperficie (incidente), aparece un frente de onda refractado. Así que la frecuencia no cambia: el "ritmo" (frecuencia) al que llegan los de frentes de onda es el mismo al que se refractan. Por contra, como la velocidad de la luz en el nuevo medio es distinta, sí cambia la longitud de onda (por lo que aparece la dispersión cromática de la que habla aLFRe).

[aLFRe]

Re: Índice de refracción y frecuencia

Gracias Alfre, si YO si sé que n depende de la frecuencia, el problema es que mi profesora no (aparentemente), y ha puesto eso en un examen.

Por pensar bien de ella (que en su caso es hacer un esfuerzo grande) diría que lo que quería era que lo demostrasemos usando sólo las ecuaciones de Maxwell, que es lo que yo querría averiguar, porque desde luego la dependencia existe, como tu bien dices.
Resumiendo, en caso de repetirse la pregunta, estoy entre intentar hacer alguna demostración cutre o citarle libros donde aparezca explicada la dependencia.

Las ecuaciones de Maxwell son ecuaciones en derivadas parciales
con las que se trabaja, en general, con aproximaciones.
A lo que, supongo, se refiere tu profesora es a las condiciones de contorno
que éstas se deben de satisfacer en la interfase ( plano de separación )
entre los dos materiales por los que la onda se propaga
y que son las ecuaciones de Maxwell particularizadas a ciertos contornos y volúmenes.

Estas condiciones de contorno,
en general esto se aplica a una onda plana monocromática, te permite
deducir las leyes de la reflexión y refracción de la óptica...
conservación del plano de incidencia
para los rayos incidente reflejado y refractado,
la ley de Snell
y la ley de la reflexión ( si no la consideras como un caso particular de la anterior )
pero yo ahora no recuerdo que se pueda aplicar a probar que
$n \neq n(\omega)$
Estas condiciones de contorno afectan a las componentes de cuatro campos,
pero para lo que se refiere a la onda electromagnética
sólo hay que considerar la conservación de la componente tangencial
del campo eléctrico y la componente tangencial del campo magnético
y tomar una onda plana monocromática...
está hecho en muchos libros y seguro que te puedes bajar la demostración de internet
y leértela

Anoche estuve dándole vueltas a todo esto y
hay otra opción para demostrar esto
- ojo... es válido sólo en un cierto rango de longitudes de onda -
pero no a través de las condiciones de contorno
de las ecuaciones de Maxwell sino a través de la fórmula de Cauchy
para el índice de refracción.

En esta fórmula se desarrolla el índice de refracción en potencias
de la longitud de onda de la luz $\lambda$
Tomando el límite $\lambda \to 0$ que es el límite en el cual la Óptica
es la de Descartes ( la Óptica Geométrica ) el índice resulta ser constante.
Esta fórmula no es cierta...
medio funciona en el rango en el cual no hay absorción ( dispersión anómala)...
y bueno... no es lo que te pedía tu profesora.

Un saludo.

[aLFRe]

Re: Índice de refracción y frecuencia

Cuidado porque en el post previo he tenido una ida de olla total,
espero que lo leas a tiempo.

La fórmula de Cauchy para el índice de refracción es algo así como :
$n(\lambda)= A + \frac{B}{\lambda^2}+ \frac{C}{\lambda^4}+\ldots$
como puedes el límite de la Óptica Geométrica
$\lambda \to 0$ hace diverger la expresión,
por lo cual todo el razonamiento mio es incorrecto.

Todo lo demás es correcto.
Un saludo.

[vpleader]

Re: Índice de refracción y frecuencia

Vaaaaaale aquí la que ha tenido ida de olla es mi profe, que donde puso no era sí. como es la vice se joderán los alumnos imagino.

Al parecer la demostracion que ella quería del "sí" era a través de la fórmula de dispersion n(w)^2=1+sumatorio(f/(w-wo) o algo así (ahora mismo no me acuerdo).

¿Sabeis como podría hacerse por este camino?

[aLFRe]

Re: Índice de refracción y frecuencia

Al parecer la demostracion que ella quería del "sí" era a través de la fórmula de dispersion n(w)^2=1+sumatorio(f/(w-wo) o algo así (ahora mismo no me acuerdo).

¿Sabeis como podría hacerse por este camino?

Si lo que te pide es que llegues a esa fórmula
tienes que considerar que un átomo sometido a un campo eléctrico se polariza
y creo recordar que el camino era plantear una ecuación diferencial
todo muy parecido al caso del oscilador forzado, no sé si lo has dado,
donde el campo variable de la luz incidente es la excitación interna.

Si el campo eléctrico es variable el átomo tiene una cierta frecuencia
$\omega_0$ que a la cual se produce absorción.
Ese sumatorio que aparece es sobre las frecuencias propias del dieléctrico.

De memoria no te lo puedo hacer, la demostración la tienes en,
por ejemplo, el libro Classic Electrodynamics de Jackson
y también estaba en una página con los problemas del Jackson resueltos
pero en inglés. De esta última no recuerdo la dirección.

Ahora que me acabo de acordar parte de todo esto lo tengo contado en una transparencia apestosa que hice hace tiempo.
Mejor si te lo ves por el Jackson pero, si quieres, puedes dedicar cinco minutos a leer
"Un modelo sencillo para la permitividad" de la transparencia "Medios dispersivos"
que puedes alcanzar desde mi página principal cuyo enlace es
éste.
Tu profesora hace un modelo más sencillo que el de Lorentz y considera que no hay amortiguamiento.

Saludos.

[polonio]

Re: Índice de refracción y frecuencia

Vaaaaaale aquí la que ha tenido ida de olla es mi profe, que donde puso no era sí. como es la vice se joderán los alumnos imagino.

Al parecer la demostracion que ella quería del "sí" era a través de la fórmula de dispersion n(w)^2=1+sumatorio(f/(w-wo) o algo así (ahora mismo no me acuerdo).

¿Sabeis como podría hacerse por este camino?

Vamos a ver si nos aclaramos.

¿Te piden demostrar que el índice de refracción es independiente de la frecuencia (medio no dispersivo), o que sí depende y cómo (medio dispersivo)?

Por otra parte, ¿de qué nivel estamos hablando (asignatura y curso)? ¿Cuál es la pregunta exacta que te hacen en el examen (así nos libramos de malinterpretaciones)?

No sé si tienes tú la razón o tu profesora. (De momento le doy la razón a ella, porque no te estás explicando muy bien que digamos...)