problema del planeta X

[hassan]

Hola a todos!! Soy un estudiante de fisica de esos que creen que acabara la carrera dentro de 10 años (no se si habra alguien mas en mi situacion) que tiene problemas con la teoria "elemental" electromagnetica, aqui va mi problema:

El planeta X puede considerarse una esfera metaliza de radio R y tiene una densidad superficial de carga libre sigma > 0. Su atmosfera esta formada por un gas cuya permitividad dielectrica decrece con la altura segun la expresion epsilon(z)=epsilon sub cero [1+exp(-z/h)] donde h es una constante y z la altura sobre el suelo. Suponiendo z<<R.
A) Obtener las densidades de carga de polarizacion superficial y volumetrica que aparecen en la atmosfera.
B) Obtener la energia cinetica que gana un electron que se acerca verticalmente a la superficie del planeta desde la altura z=3h hasta z=2h

Todos los problemas de dielectricos que he hecho ha sido con permitividad constante y conejitos bailando a su alrededor asi que no se como atacarlo.

Gracias por su ayuda.

P.D: Siento no haber puesto las expresiones de forma mas elegante pero soy nuevo.

[carroza]

Re: problema del planeta X

Hola. Tienes un problema resuelto similar en:


http://www.esi2.us.es/DFA/CEMI/Exame.../CEene04_P.pdf


Curratelo, que currando acabaras la carrera en cinco años, y no en 10.

[carroza]

Re: problema del planeta X

www.esi2.us.es/DFA/CEMI/Examenes/Resueltos/Problemas/CEene04_P.pdf

Ahora esta completa la referencia

[hassan]

Re: problema del planeta X

Gracias Carroza por tu respuesta pero aun me surgen dudas:

El campo E varia como 1/(r^2) y la permitividad varia como exp(-h/z), entiendo que r y z son magnitudes distintas, pero al realizar div P para hallar la densidad de carga volumetrica debo hacerla sobre la variable r, pero el hacerlo (que no debe ser muy dificil) no me da exactamente la solucion porque esta tambien depende de z. No se si me explico.

Si la permitividad fuera constante no habria ningun problema, pero al depender de la altura z no se como tratarla dentro de div P para que me de la densidad de carga volumetrica (a no ser que entre en el fascinante mundo de las suposiciones/aproximaciones y considere la permitividad constante)

De todas formas muchas gracias por tu interes.

[pod]

Re: problema del planeta X

entiendo que r y z son magnitudes distintas,

Por lo que entiendo, $r = z + R$.

Uhm... tenía pensado ponerme a intentar hacer este problema un rato u otro (tengo que coger los viejos apuntes ), pero me alegro que hayas encontrado ayuda antes que yo tiempo

[aLFRe]

Re: problema del planeta X

Re-confeccionado en parte.

Llevo un par de días con la primera parte del problema,
pero no he conseguido resolverlo.
Le comento hasta donde he llegado por si le puede servir de algo
o algún otro forero continúa el hilo.
Me voy a tomar la libertad de usar expresiones vectoriales y escalares
( componentes ) sin detallar mucho puesto que es símplemente un borrador
espero que no sea muy lioso.

El planeta X puede considerarse una esfera metaliza de radio R y tiene una densidad superficial de carga libre sigma > 0. Su atmosfera esta formada por un gas cuya permitividad dielectrica decrece con la altura segun la expresion
epsilon(z)=epsilon sub cero [1+exp(-h/z)] donde h es una constante y z la altura sobre el suelo.

¿ la permitividad no sería más bien
$\epsilon(z)=\epsilon_0 (1+\exp(-z/h)]$
?

Suponiendo z<<R.

Esto ya le da la siguiente pista,
la geometría se puede aproximar como plana.
por lo cual en se puede usar la expresión en coordenadas rectangulares para la divergencia
puesto que sólo hay componente radial que en la aproximación plana coincide con z.
Vd sabe que el flujo del vector desplazamiento
$\phi_D=carga\,libre$

Si acepta la aproximación y considera la superficie de La Tierra como un plano conductor
en equilibrio electróstatico de densidad de carga libre
( ing. free) en lo que sigue [tex]\sigma_f[tex]
Tomando un cilindro de base infinitesimal perpendicular a la superficie
$\phi_D = Q_f$
$D ds = \sigma_f dS$
$\vec{D} = \sigma_f \vec{z}$
Para el campo eléctrico
$\vec{E} = \frac{\sigma_f}{\epsilon} \vec{z}$
Observe que la forma ( ahora sin mi correción anterior propuesta ) de

$\epsilon(z)=\epsilon_0 (1+\exp(-h/z)]$
ya le dice que $\chi_e=\exp(-h/z)$
y que $P = \epsilon_0\chi_e E$

Para calcular ahora la densidad de carga de polarización como Vd. ya sabe
$\rho_p = -\vec{\nabla} \vec{P}$
y la densidad supercial de carga es
$\sigma_p = \vec{P}\vec{n}$
siendo $\vec{n}$ la normal
Y ahora viene donde me quedo atrancado.
$\vec{\nabla} \vec{P} =\epsilon_0 \vec{\nabla}( \chi_e \vec{E})$
$=\epsilon_0 (\vec{\nabla}( \chi_e) \vec{E}+<br /> \epsilon_0 \chi_e(\vec{\nabla} \vec{E})$
Pero aquí me paro... ese segundo sumando de esa última expresión en este caso no se puede tomar como 0...
puedo seguir operando y sale un resultado pero hay un par de cosas que no me gustan.

Si termino ya le dejo algo más el finde.

Un saludo y lamento no poder haber hecho más

[carroza]

Re: problema del planeta X

[quote=hassan;8186]
El campo E varia como 1/(r^2) y la permitividad varia como exp(-h/z), entiendo que r y z son magnitudes distintas, pero al realizar div P para hallar la densidad de carga volumetrica debo hacerla sobre la variable r, pero el hacerlo (que no debe ser muy dificil) no me da exactamente la solucion porque esta tambien depende de z. No se si me explico.

Hola. El campo E no va como 1/r². El vector desplazamiento D si va como 1/r².
A partir de ahi calculas E(r), P(r) y todo lo demas.

Entiendo, como Pod, que r=R+z, donde R es el radio del planeta X.

[hassan]

Re: problema del planeta X

Ante todo, gracias por los mensajes recibidos y por las molestias que os tomais con un desconocido.
Querria decir alguna cosilla:

1º Pod supones bien, bueno almenos yo supongo lo mismo, el radio r es la suma del radio del planeta R mas la altura z de la "atmosfera dielectrica"
2º Alfre, tienes razon en tu expresion de la permitividad, mi lapsus (que ya ha sido editado) forma parte de mi repertorio para acabar la carrera en 10 años (culpa de la ESO seguro)
3º Carroza ¿porque E no va como 1/(r^2)? Supongo que utilizaras un razonamiento como Alfre. Con la suposicion del radio, tambien estas acertado.

De nuevo gracias por las molestias, y si no sale tampoco os compliqueis la vida, con tal que mi profe no se "luzca" de nuevo...

[carroza]

Re: problema del planeta X

Ante todo, gracias por los mensajes recibidos y por las molestias que os tomais con un desconocido.
Querria decir alguna cosilla:

1º Pod supones bien, bueno almenos yo supongo lo mismo, el radio r es la suma del radio del planeta R mas la altura z de la "atmosfera dielectrica"
2º Alfre, tienes razon en tu expresion de la permitividad, mi lapsus (que ya ha sido editado) forma parte de mi repertorio para acabar la carrera en 10 años (culpa de la ESO seguro)
3º Carroza ¿porque E no va como 1/(r^2)? Supongo que utilizaras un razonamiento como Alfre. Con la suposicion del radio, tambien estas acertado.

De nuevo gracias por las molestias, y si no sale tampoco os compliqueis la vida, con tal que mi profe no se "luzca" de nuevo...

D va como 1/r² por las ecuaciones de maxwell, que relacionan D con la carga libre, que solo esta en la superficie del planeta. Aplica el teorema de gauss y ya te sale.
No hay que suponer nada sobre que h sea grande o pequeño.

E no va como 1/r² porque las fuentes de E son tanto las cargas libres como las cargas debidas a la polarizacion del medio.

Animo para hacer la carrera en cinco años. Si le dedicas esfuerzo, seguro que le encuentras el encanto a la fisica, encuentras lo hermosas que son las ecuaciones de maxwell, lo sutiles que son las diferencias entre campo electrico y vector desplazamiento, y valoras que el profesor se "luzca", porque con problemas tipo con
epsilon constante no se aprende mucho.

(Mira en la Wikipedia "ecuaciones de maxwell", si te da pereza volver a los apuntes)

[hassan]

Re: problema del planeta X

Hola!

Despues de bastante tiempo he encontrado la solucion de este ejercicio, por eso me siento en deuda con vosotros por vuestro tiempo invertido y creo que debo esbozar la solucion, a modo de ayudar a los nuevos usuarios del canal sobre sus dudas sobre el electromagnetismo (y digo esbozar porque no se utilizar LATEX para escribir las formulas ):

1º Olvidarse de la esfera y tratar el problema como una placa infinita (con una densidad de carga superficial) y un dielectrico de permeabilidad variable.
2º Aplicar la ley de Gauss para hallar el desplazamiento electrico y posteriormente el campo electrico.
3º Teniendo el campo electrico se puede hallar el vector polarizacion y de ahi, la densidad de carga (superficial y volumetrica) de polarizacion
4º Para el segundo apartado, del campo electrico podemos hallar el potencial para luego evaluarlo en 3h y 2h.

Ahi queda eso