2o ciclo Potencial de anillo

[scarebyte]

Sea un anillo de radio R, situado en el plano XY, y cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. El anillo esta cargado con densidad lineal de carga positiva igual a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es una constante de unidad C/m y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es el angulo que hace el radio respecto al eje X

Determine:
a) la carga total del anillo
b) el campo eléctrico en el punto P(0,0,z)
c)El potencial eléctrico en el punto P(0,0,z) a partir del campo electrico hallado en la parte anterior. Suponga el centro del anillo como el origen del potencial V(z=0)=0.


Mi duda es sobretodo para la parte b:
Para la pregunta del campo E, este campo tendria solo componente en Z? ya que por la simetria las otras componentes se anulan? O el [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] influye en algo en cuanto a las componentes de E?

Gracias

[Metaleer]

Re: Potencial de anillo

Hola.

En casos donde no lo tengas claros, lo suyo es montar las integrales correspondientes. En este caso, para la componente en $x$, la integral que sale es

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \cos \theta | \sin \theta | d \theta,$

y para la componente en $y$

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \sin \theta | \sin \theta | d \theta,$

y estas son las integrales que determinan si las componentes correspondientes se anulan o no. Te invito a que compruebes que en efecto las dos integrales se anulan, y por tanto no habrá campo en estas dos componentes para los puntos sobre el eje $Z$.

Para entender esto mejor, considera un punto sobre el anillo, a un ángulo $\theta_0$. Tendrá una carga $\lambda_0 | \sin \theta_0 | R d \theta$. Ahora nos vamos a un punto diametralmente opuesto, es decir, al punto que queda sobre el anillo al sumarle $\pi ~\text{rad}$ a $\theta_0$. La carga de éste diferencial de anillo será $\lambda_0 | \sin (\theta_0 + \pi) | R d \theta$. Pero sabemos que $\sin (x + \pi) = - \sin x$, así que la carga contenida en el segundo diferencial es $\lambda_0 | - \sin \theta_0 | R d \theta = \lambda_0 | \sin \theta_0 | R d \theta$, es decir, al tener dos cargas del mismo signo y del mismo valor diametralmente opuestas, se anula el campo vectorialmente sobre el plano $XY$.

Observa que si no hubiéramos tenido el valor absoluto en la densidad de carga, en la componente $y$ se tendría un campo no nulo.

Saludos.

[scarebyte]

Re: Potencial de anillo

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \cos \theta | \sin \theta | d \theta,$

y para la componente en $y$

$\displaystyle \int_0^{2 \pi} \sin \theta | \sin \theta | d \theta,$

Hola,
Efectivamente esas integrales ambas salen 0, entonces solo habría componente en Z.
Ahora, si tengo el campo eléctrico y este esta en función de Z, donde Z es la distancia del plano XY al punto P, para hallar el potencial tendría que hallar la integral de linea E.dz desde 0 hasta Z?

Gracias

[Metaleer]

Re: Potencial de anillo

Hola,
Efectivamente esas integrales ambas salen 0, entonces solo habría componente en Z.
Ahora, si tengo el campo eléctrico y este esta en función de Z, donde Z es la distancia del plano XY al punto P, para hallar el potencial tendría que hallar la integral de linea E.dz desde 0 hasta Z?

Gracias

Así es, recuerdas que $\displaystyle \mathbf{E} = - \nabla V \Rightarrow E(z) = - \frac{dV}{dz} \Rightarrow E(z) dz = - dV$, es decir

$\displaystyle V = - \int E(z) dz + C,$

y la constante de integración la determinas imponiendo la condición de contorno que te dan: potencial nulo en $z=0$. Ojo que esta condición de contorno que te dan es tan buena como suponer nulo el potencial en el infinito (que es lo que se suele hacer de hecho, para distribuciones de carga no infinitas).

Saludos.