1r ciclo Demostracion campo magnético

[a4t0]

Nos piden que demostremos estas dos formulas:

la (1) y la (3) de este enlace http://img266.imageshack.us/img266/34/sinttulola.png

y no tenemos ni papa de como hacerlo, ¿alguien que nos ayude? muchas gracias!, gracias!!!

[lucass]

Re: Demostracion campo magnético

Nos piden que demostremos estas dos formulas:

la (1) y la (3) de este enlace http://img266.imageshack.us/img266/34/sinttulola.png

y no tenemos ni papa de como hacerlo, ¿alguien que nos ayude? muchas gracias!, gracias!!!

Ahí mismo lo dice, "todas estas expresiones pueden obtenerse con la ley de Biot-Savart", que, si Latex me lo permite, se puede escribir así:

$\displaystyle d\vec B = \frac {\mu_0}{4 \pi} I \dfrac {\vec {\mu_t} \times \vec {\mu_r}}{r^2} dl$

$\vec {\mu_t}$ es el versor tangencial al conductor y $\vec {\mu_r}$ es el que va hacia el punto donde se calcula el campo. $dl$ es el diferencial de longitud del conductor, que produce el campo $d\vec B$
Saludos

[electr0n]

Re: Demostracion campo magnético

Veamos, a partir de la expresión que te pone lucass y siguiendo su notación, para hallar el campo total hay que sumar todos los $d\vec B$, es decir, hay que hacer la integral:

$\displaystyle\vec B=\int_L d\vec B=\int_L{\frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{\vec\mu_t\times\vec\mu_r}{r^2}dl}$

$\vec B$ = campo magnético total producido por la espira
$d\vec B$ = diferencial de campo magnético producido por un diferencial de corriente $dl$
$I$= corriente que circula por la espira
$\mu_0$ = permeabilidad magnética del vacío
$\vec \mu_t$ = vector unitario tangente a cada punto de la espira
$\vec \mu_r$ = vector unitario en la dirección que une cada elemento $dl$ con el punto donde deseamos calcular el campo
$r$ = distancia entre cada elemento $dl$ y el punto donde deseamos calcular el campo

Se trata de una integral vectorial evaluada en toda la longitud L de la espira.

Antes de calcularla, es muy útil dedicar unos minutos a dibujar bien grande la situación que nos plantean.



Como ves en la parte de arriba de la imagen, he puesto un esquema tridimensional con la espira de radio R sobre el plano xy y el eje de simetría coincidiendo con el eje z para mayor comodidad. En un punto arbitrario de la espira localizamos un elemento "$dl$" definido por su posición angular "$\varphi$" y el ángulo diferencial "$d\varphi$" que abarca, respecto de un origen de ángulos, también arbitrario, en este caso situado en la parte negativa del eje y. En la parte de abajo a la izquierda puede verse la proyección sobre el plano de la espira, el diferencial $dl$ y su ángulo $\varphi$. Y en el eje z a una altura genérica "z" y a una distancia "r" de $dl$ aparece el punto P donde nos piden calcular el campo magnético.

Localizados sobre el elemento $dl$ aparecen los dos vectores que tenemos en la integral: primero, el vector unitario en rojo $\mu_t$ tangencial a la espira y sobre el plano xy (su componente z es 0); segundo, el vector unitario en verde $\mu_r$ dirigido desde $dl$ hasta el punto P (en general tiene las 3 componentes no nulas).

Planteado este esquema, fijémonos en la integral de marras. La permeabilidad $\mu_0$, el factor $4\pi$ y la intensidad $I$ son constantes en nuestro caso, así como también lo es la distancia r cuando hemos fijado el punto P, como la generatriz de un cono. Los dos vectores unitarios tienen módulo 1 pero no son constantes pues, al movernos por la espira conforme giramos el ángulo $\varphi$, cambian de posición en el espacio. Por tanto, lo que hay que evaluar es:

$\displaystyle\vec B=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\int_L{\vec\mu_t\times\vec\mu_r dl}$

Ahora tenemos que hallar el producto vectorial de los dos vectores unitarios, para lo cual hemos de fijarnos en sus componentes x,y,z:

- En la esquina inferior izquierda se ve el vector $\vec\mu_t$ visto desde arriba, tangente a la espira, en el plano xy y apuntando hacia las direcciones positivas; sabiendo que tiene módulo 1, por geometría se deduce que el vector tangente es

$\vec\mu_t=cos\varphi\cdot\vec i + sen\varphi\cdot\vec j+0\cdot \vec k$

- En la esquina inferior derecha vemos la sección triangular con el vector $\vec\mu_r$ y su proyección $\mu_{rP}$ sobre el plano horizontal. La altura "h" del vector $\vec\mu_r$ es su componente z, mientras que sus componentes x,y se corresponden con las componentes x,y de la proyección, cuyo módulo en este caso no es 1. Por relación de semejanza entre triángulos tenemos:

$\displaystyle sen\alpha=\frac{z}{r}=\frac{\mu_{rz}}{1}=h$

$\displaystyle tg\alpha=\frac{z}{R}=\frac{\mu_{rz}}{\mu_{rP}}\Rightarrow \mu_{rP}=\frac{Rh}{z}=\frac{R}{r}$

Conocido el módulo de la proyección, nos fijamos en la figura pequeña de la esquina superior derecha y nuevamente con trigonometría hallamos las componentes x e y que nos faltan, teniendo cuidado con el hecho de que la componente x apunta en dirección negativa:

$\displaystyle \mu_{rx}=-\mu_{rP}sen\varphi=-\frac{R}{r}sen\varphi$

$\displaystyle \mu_{ry}=\mu_{rP}cos\varphi=\frac{R}{r}cos\varphi$

y, acto seguido, expresamos el segundo vector como:

$<br /> \displaystyle\vec\mu_r=-\frac{R}{r}sen\varphi\cdot \vec i+\frac{R}{r}cos\varphi\cdot\vec j+\frac{z}{r}\cdot\vec k<br />$

Todo trabajo tiene su recompensa, y ahora podemos ponernos a calcular el deseado determinante:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

El siguiente paso es poner el diferencial dl en función del ángulo de giro:

$dl=Rd\varphi$

y reescribir la integral en $\varphi$ una vez conocidas todas las componentes del vector resultante:

$\displaystyle\vec B=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\int_{\varphi=0}^{2\pi}{\left(\frac{z}{r}sen\varphi\cdot\vec i-\frac{z}{r}cos\varphi\cdot\vec j+\frac{R}{r}\vec k\right) Rd\varphi}$

Para las componentes x e y tenemos $\displaystyle\int_0^{2\pi}sen\varphi d\varphi=\int_0^{2\pi}cos\varphi d\varphi=0$, de manera que resulta un campo en sentido únicamente axial (eje z):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Dado que la longitud $\displaystyle r=\sqrt{z^2+R^2}$, el campo queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si en lugar de una única espira tenemos N espiras superpuestas, es evidente que el campo total a una altura z - considerablemente mayor que el espesor de las espiras juntas - será la suma de las N contribuciones de cada espira:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y para conocer el campo en el centro de la espira o bobina, basta con ir al caso particular en que z=0:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Seguramente se puede calcular todo más fácilmente con coodenadas cilíndricas, pero de todas formas es muy interesante en cartesianas. Si tengo un rato, mañana lo probaré y pondré el resultado.

[EDITADO]

Pongo la resolución en coordenadas cilíndricas, que es bastante más sencillo. Primero, una imagen con la posición del triedro de vectores unitarios correspondientes.

donde $|\vec\rho|=|\vec\varphi|=|\vec z|=1$

Teniendo en cuenta la configuración de coordenadas en la espira que puse, tenemos la equivalencia

$\displaystyle \vec\mu_t=\vec\varphi$

$\displaystyle \vec\mu_r=-cos\varphi\cdot\vec\rho+sen\varphi\cdot\vec z=-\frac{R}{r}\vec\rho+\frac{z}{r}\vec z$

Entonces el producto vectorial de la integral será

$\displaystyle \vec\mu_t\times\vec\mu_r=-\frac{R}{r}(\vec\varphi\times\vec\rho)+\frac{z}{r}(\vec\varphi\times\vec z)=-\frac{R}{r}(-\vec z)+\frac{z}{r}\vec\rho=\frac{R}{r}\vec z+\frac{z}{r}\vec\rho$

y la integral a evaluar

$\displaystyle\vec B=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\int_L{\left(\frac{R}{r}\vec z+\frac{z}{r}\vec\rho\right)Rd\varphi}$

Los vectores $\vec z$ y $\vec k$ son equipolentes y no varían al girar el ángulo $\varphi$, por lo que el primer término de la suma sale de la integral sin problemas. En cambio, la dirección de $\vec\rho$ se modifica al girar, pero es fácil ver que al sumarse en una vuelta completa la integral vale cero; se puede comprobar haciendo $\vec\rho=cos\varphi\vec i+sen\varphi\vec j$, cuyas integrales entre 0 y $2\pi$ son claramente nulas. Así pues, el campo queda:

$\displaystyle\vec B=\frac{\mu_0RI}{4\pi r^3}\cdot 2\pi R\cdot\vec z=\frac{\mu_0R^2I}{2r^3}\cdot\vec z$

Como $\displaystyle r=\sqrt{z^2+R^2}$, llegamos al mismo resultado:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos!

[a4t0]

Re: Demostracion campo magnético

ok muchas gracias!!!