1r ciclo Dieléctrico

[Gallinita amarilla]

¿Me podrían ayudar con el siguente ejercicio?

Dos placas planas, paralela e infinitas en las direcciones y,z están situadas en x=-d y x=+d. Si el espacio entre las placas, se rellena con un dieléctrico con permitividad dependiente del espaciado
[FONT=Arial][FONT=Verdana]ε = 4ε0/(1+(x/d)2). [/FONT][FONT=Verdana]La placa en x=d se mantiene a potencial con respecto a la placa en x=-d.[/FONT][/FONT]
Calcular:
a) el campo eléctrico y la distribución de potencial [FONT=Arial]φ0 [/FONT]entre las placas.
b) la polarización P y la densidad de carga de polarización [FONT=Arial]ρb[/FONT].

Muchas gracias!

[Metaleer]

Re: Dieléctrico

Hola.

Algunas cosas no se leen bien, pero buscando un poco por Google, supongo que te refieres al problema 8 de aquí.

Bueno, vamos por partes.

En este problema tienes un dieléctrico lineal, isotrópico pero no homogéneo, pues la permitividad es una función de coordenadas espaciales. La ecuación constitutiva es

$\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}= - \varepsilon \nabla V,$

pero sabes que $\nabla \cdot \mathbf{D} = \text{div} ~ (\mathbf{D}) = \rho_f,$, donde $\rho_f$ es la densidad de carga libre. Con este deduces

$\nabla \cdot (\varepsilon \nabla V) = \varepsilon \nabla ^2 V + \nabla V \cdot \nabla \varepsilon = - \rho_f = 0,$

ya que nos interesa el potencial en la zona entre las dos placas, es decir, en la zona del dieléctrico, y ahí no hay ninguna carga libre.

Continuando,

$\displaystyle \varepsilon = \frac{4 \varepsilon_0}{1 + (x/d)^2} \Rightarrow \nabla \varepsilon = \left (- \frac{8 \varepsilon_0 x}{d^2 (1 + (x/d)^2)^2}, 0, 0 \right ) \Rightarrow \nabla V \cdot \nabla \varepsilon= - \frac{8 \varepsilon_0 x}{d^2 (1 + (x/d)^2)^2} \frac{\partial V}{\partial x}$

y sustituyendo en nuestra ecuación,

$\displaystyle \frac{4 \varepsilon_0}{1 + (x/d)^2} \left ( \frac{\partial ^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 V}{\partial z^2}\right) - \frac{8 \varepsilon_0 x}{d^2 (1 + (x/d)^2)^2} \frac{\partial V}{\partial x} = 0.$

Ahora bien, el problema es altamente simétrico; en efecto, si te mueves a lo largo del eje Y y a lo largo del eje Z, se "ve" siempre lo mismo, y por tanto el potencial $V$ sólo puede ser función de la coordenada $x$. De esta manera la ecuación diferencial a resolver se convierte en

$\displaystyle \frac{4 \varepsilon_0}{1 + (x/d)^2} V''(x) - \frac{8 \varepsilon_0 x}{d^2 (1 + (x/d)^2)^2} V'(x) = 0 \Rightarrow \\ 4 \varepsilon_0 V''(x) - \frac{8 \varepsilon_0 x}{d^2 (1 + (x/d)^2)} V'(x)= 0,$

ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Si haces el cambio de variable $V'(x) = U(x)$, integras, y vuelves e impones las dos condiciones de contorno que tienes para los potenciales de las placas, obtienes $V(x)$ para la región dentro de las dos placas.

Una vez que tengas esto, recuerdas que $\mathbf{E} = - \nabla V$ para obtener el campo electrostático.

El vector polarización se puede obtener apartir de la definición del vector desplazamiento eléctrico:

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \Rightarrow \mathbf{P} = \mathbf{D} - \varepsilon_0 \mathbf{E},$

ya que $\mathbf{E}$ ya lo tienes y conoces la relación entre el desplazamiento y el campo electrostático por la ecuación constitutiva.

Por último, la densidad de carga de polarización se obtiene con su definición, es decir, la divergencia de $\mathbf{P}$ cambiada de signo:

$-\rho_b = \nabla \cdot \mathbf{P}.$

Saludos.