1r ciclo conductividad variable.

[alespa07]

Hola a todos. Me cuesta resolver un problema. Cosideremos un cilindro indefinido de radio a recorrido por una corriente estacionaria de intensidad I. La conducitividad, expresada en cilíndricas es : $\gamma(r)=\gamma_1r$. Me piden que encuentre el campo eléctrico dentro del cilindro. Lo que hago es descomponer el cilindro en tubos de corriente para los cuales tenemos fijados: dI, r, E(r) y j(r). Pero a la hora de integrar para todo el cilíndro (para poder expresar E en función de los datos del problema: a, I y $\gamma_1$), me encuentro con que no puedo despejar el campo de la integral por depender del radio. ¿Alguna sugerencia?

Muchas gracias.

[electr0n]

Re: conductividad variable.

Estoy un poco espeso, pero creo que hay que diferenciar dos cosas.

1) Una es el campo eléctrico E paralelo al eje del cilindro y a la densidad de corriente J, producido por cualquiera que sea la fuerza electromotriz generadora de la corriente I:

$\vec J=\sigma (r)\vec E$

2) Otra es el campo eléctrico debido a la distribución estacionaria de cargas a lo largo del cilindro, que es perpendicular al eje y se extiende a todos los puntos del espacio.

El campo en (2) se calcula fácilmente mediante el teorema de Gauss, pero creo que en el problema te preguntan probablemente el campo de (1). Si la corriente es estacionaria, todas las cargas fluyen igualitariamente a través de la sección del cilindro y es lógico pensar que son "empujadas" por un campo eléctrico de módulo constante en el interior. Si no fuera constante con el radio, existiría una acumulación de cargas en ciertas regiones de cualquier volumen de cilindro y por tanto la corriente no sería estacionaria.

Por tanto, yo creo que el campo puede salir de la integral:

$<br /> \displaystyle I=\int_S{\vec J \cdot \vec da}=\int_0^a{\gamma_1r\cdot E\cdot 2\pi\cdot rdr}<br />$

$\displaystyle E=\frac{3I}{2\pi \gamma_1a^3}$

No obstante, que alguien me corrija si me equivoco

Saludos!

[alespa07]

Re: conductividad variable.

Hola. Gracias por tu respuesta!! Llegaba al mismo resultado considerando que el campo electrico había de ser constante en el interior del cilindro pero no estaba muy convencido de que debiera ser así. Lo único que tenía claro es que lo era para el tubo de corriente pero no para el cilindro entero. Si es así mi duda está completamente resuelta. No obstante, si alguien sabe que no es así le agradecería su colaboración.

saludos.

[electr0n]

Re: conductividad variable.

Bueno, aquí toca razonar por qué el campo eléctrico que genera la corriente debe ser uniforme. Según yo lo veo, tiene una cierta intensidad en V/m a lo largo de todo el conductor; si fuera variable, la corriente no sería estacionaria.

Saluditos