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[Aero]

Buenas a todos!

Miren se me presenta la siguiente cuestión: Qual es el campo magnético generado por un tronco de cono sobre el cual se enrollan espiras con una intensidad y radios conocidos en el vertice generado por las prolongaciones del mismo?

Mi problema en concreto es que no puedo relacionar el diferencial del radio de las espiras con el diferencial de distáncia del centro de cada espira al punto (situado sobre un hipotético eje z) del vertice de la prolongación del tronco.

Alguien sabe cómo plantear bien el diferencial de campo?

Muchas gracias!!

[electr0n]

Re: Campos magnéticos

Habría que especificar mejor la situación del problema. No sabemos si hay infinitas espiras enrolladas a modo de solenoide de radio variable, o sólo unas cuantas con radios e intensidad conocidos...

[Aero]

Re: Campos magnéticos

El numero de espiras es conocido y el radio de las mismas depende de la altura a la que se encuentren en el tronco de cono. Las espiras estan enrolladas a modo de solenoide de radio variable, concretamente decreciente.

[electr0n]

Re: Campos magnéticos

Vale, entonces se trata simplemente de sumar todos los campos debidos a cada una de las espiras. En concreto, el campo creado por una espira en un punto de su eje a cierta distancia z es:

$\displaystyle B(z)=\frac{\mu_0IR^2}{2\sqrt{R^2+z^2}}$

Si especificas bien todos los datos del problema, podremos resolverlo.

Saludos

[Trisko]

Para calcular el campo magnético en el vértice de un cono creado por un tronco enrollado por espiras por las cuales fluye una intensidad $I$ hay que tratarlo como un enrollamiento de espiras circulares. Para empezar hay que primero obtener el valor de la densidad superficial de corriente (ya que la intensidad atraviesa una superficie) mediante $I_{total}=NI=\int_{L}^{} \vec{J}_{s} \cdot \vec{dr}=\int_{L}^{} J_{s}dr \vec{\theta} \dot \vec{\theta}=J_{s}L \Rightarrow \vec{J}_{s}=\frac{NI}{L}=\frac{NI \cos(\theta_{0})}{h} \vec{\theta}$
Donde $\vec{\theta}$ es la dirección angular (dirección de la intensidad en el enrollamiento), $\theta_{0}$ como el ángulo que forma nuestro punto a calcular en el vértice del cono y el extremo derecho de la base del tronco y L es la longitud del lado perpendicular que atraviesa la intensidad (por definición de densidad superficial de corriente), es decir, el lado derecho del tronco. En este caso hemos tomado el orígen de coordenadas como y entrante al papel, x hacia la derecha y z hacia arriba.

Ahora expresando el campo magnético creado por una espira circular:
$d\vec{B}=\dfrac{\mu_{0} dI}{2} \dfrac{r_{n}^{2}}{(r^{2}_{n}+d^2)^{\frac{3}{2}}} \vec{k}$, dónde $r_{n}$ es el radio de una circunferencia ubicada en cualquier posición del tronco z desde nuestro sistema de referencia, y d es la distancia desde la espira considerada al punto. Reescribiendo todo esto teniendo en cuenta que calculamos antes que $dI=J_{s}dr=J_{s} \dfrac{dz}{\cos(\theta_{0})}=\dfrac{NIdz}{h}$ (habiendo relacionado dr con dz considerando dz como un elemento de anchura diferencial sobre el eje z) tendríamos:
$d\vec{B}=\dfrac{\mu_{0} NI}{2h} \dfrac{r_{n}^{2}}{(r_{n}^{2}+(h+h_{s}-z)^{2})^{\frac{3}{2}}} dz \vec{k}$, ahora tenemos que expresar todo en función de z para integrar, teniendo en cuenta que $\tan(\theta_{0})=\dfrac{r_{n}}{h_{s}+h-z}$:
$\vec{B}=\int_{0}^{h} \dfrac{\mu_{0}NI}{2h} \dfrac{(h+h_{s}-z)^{2} \tan(\theta_{0})^{2}}{(h+h_{s}-z)^{3}(1+\tan(\theta_{0}^{2})^{\frac{3}{2}}} dz \vec{k}=\dfrac{\mu_{0}NI \sin(\theta_{0})^{2}\cos(\theta_{0}}{2h} \int_{0}^{h} \dfrac{dz \vec{k}}{h+h_{s}-z}$
Resolviendo la integral nos queda que:
$\vec{B}=\dfrac{\mu_{0}NI \sin(\theta_{0})^{2}\cos(\theta_{0}}{2h} \ln(\dfrac{h+h_{s}}{h_{s}}) \vec{k}$
Dependiendo de los datos conocidos se pueden relacionar estos senos y cosenos con los correspondientes radios y longitudes o viceversa, todo dependiendo de lo que conozcas inicialmente.