1r ciclo Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

[Fenixidiwuy]

No estoy demasiado seguro de si estoy colocando debidamente este ejercicio en su apartado... Pero Electromagnetismo es lo que mas se le parece.

El ejercicio es el siguiente:

Tenemos una esfera de radio 1 centrada en el origen (0, 0, 0) en cuya superficie hay N particulas con masa despreciable.

Lo que nos piden es... A partir de un N que nos den, cálcular en que posiciones habrían de colocarse todas y cada una de las particulas de manera que la energia sea minima, es decir, que encontremos las posiciones en las que han de situarse las particulas para que tengamos la mejor configuracion energética.

Solo nos dan N y la forma de la energía, "sabiendo que la energia es proporcional a N e inversamente proporcional a r (distancia entre las dos particulas mas cercanas)".

Ejemplos de iteración:

Para dos cargas las posiciones serían por ejemplo la (1, 0, 0) y la (-1, 0, 0) (hay muchas configuraciones posibles pero solo nos piden una fijando, creemos una particulas inicialmente donde queramos)

Para 3 cargas las particulas formarian un triangulo dentro de la esfera con vertices en su superficie.

Para 4 formarian un cuadrado con los vertices en su superficie igual...

Para 5 ya no estamos en un plano y las cosas se van jodiendo...

Hasta 25 tenemos que hacer...

Se os ocurre algo, me estoy volviendo loco...

[aLFRe]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

Se os ocurre algo, me estoy volviendo loco...

Mientras esté yo por aquí, ni se te ocurra
que no soporto la competencia.
No te voy a resolver a la pregunta pero cuando te he leido he sentido
una especie de deja-vú y me he puesto a recordar...
Hay una teoría que se llama Teoría de la Repulsión de los Pares Electrónicos
de Valencia (TRePEV) y que permite explicar la geometría de las moléculas.
Te recuerdo que un enlace covalente se debe a que dos átomos
comparten electrones.

Esta teoría viene a decir que los pares de electrones se sitúan lo más alejados posibles
a fin de minimizar la repulsión y por tanto su energía.
En este caso la energía potencial va como 1/r y parece que vamos por buen camino.

Todas las estructuras están dibujadas pero lamentablemente no llega a 25.
Además se presenta un problema adicional y es que podemos tener pares de electrones
que no participan en enlaces... y estos son "los hermanos Mala Sombra" del jaleo electrónico...
son más malos que los otros - ¿ o era al revés ? -
además supongo que tu profesor espera algo analítico

Me lo miro esta noche y si saco algo te cuento el lunes.

Saludos.

[Fenixidiwuy]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

Mi idea principal era dividir la superficie de total de la esfera(4 pi r^2 pero como r=1 tendriamos que la superficie total de la esfera es 4 pi) entre el numero de particulas N. De esta manera obtendriamos la superficie sobre la cual "reina" cada particula y en la cual no hay ninguna otra, vamos, mediante el angulo solido.

Cada particula estaria perfectamente colocada en el pto medio de cada una de esas divisiones, me explico, si son dos particulas, tenemos que el angulo solido / numero de particulas es 2 pi, es decir que cada particula gobierna una superficie de 2 pi (y asi es, una esta en la semiesfera superior y otra en la inferior, 2 pi cada una)... El problema es que yo puedo fijar una particula "inicialmente" pero la distancia sigo sin saberla... en un plano puedo calcularla proyectando la superficie que ocupa a un plano pero... para 3 dimensiones...

Estoy atascado.

[carroza]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

Hola.

Este es un bonito problema de optimización. Hacer que la energía sea mínima es equivalente a hacer que el campo que actúa sobre cada carga (la suma de las repulsiones de las otras cargas) vaya en la dirección radial de la esfera, es decir, que no tenga componentes en las direcciones contenidas en la superficie de la esfera.

Para el caso de una, dos y tres cargas, has dado la solución.

Para el caso de cuatro cargas, la solución son las posiciones de los vértices de un tetraedro regular, inscrito en la esfera-

Para seis cargas, es un octaedro regular.

Para ocho cargas, es un cubo.

Para doce dargas, es un icosaedro, y para 20, un octaedro.

Para otro numero de cargas (5, 7...) deben ser los vértices de un poliedro irregular inscrito en la esfera. Calcular estas posiciones es un problema interesante para hacer con un ordenador.

[electr0n]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

He encontrado una imagen de un poliedro de 25 vértices:

http://3.bp.blogspot.com/_e9mql2kzDF...lyhedronD5.png

Lo que no sé es si se puede inscribir en una esfera de manera que todos los vértices estén sobre la superficie...

Carroza, ¿cómo se podría hacer con ordenador? Tengo curiosidad.

Saludos

[Morloc]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

wenas!


yo tambien tengo este problema, en una asignatura de programacion


mi idea era sabiendo el potencial de minima energia (hayado con una formula que he encontrado en una web, que bueno, es una aproximacion: http://tracer.lcc.uma.es/problems/th...mson.html#MD96) fijamos la particula 1ª, recorrer la esfera en esfericas y ver en que puntos se cumple que la energia del punto actual sea igual o un poco mayor (dada la aproximacion) a la "teorica", en ese punto pues pondremos la 2ª particula.

Despues lo malor seria al continuar metiendo más particulas, porque tendrias que comparar con las anteriores...y luego llegando más lejors, imaginemos 20 particulas....pues ¿como sabemos con cual ha de interactuar y con cual no? porque no será la misma energia para cada particula colocada....

en esta aplicaion java se hace, pero ¿como lo hace?

http://members.ozemail.com.au/~llan/mpol.html




esto es un kaos!

[carroza]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

He encontrado una imagen de un poliedro de 25 vértices:

http://3.bp.blogspot.com/_e9mql2kzDF...lyhedronD5.png

Lo que no sé es si se puede inscribir en una esfera de manera que todos los vértices estén sobre la superficie...

Carroza, ¿cómo se podría hacer con ordenador? Tengo curiosidad.

Saludos

Hola. Tu poliedro es un conjunto de 5 prismas pentagonales, pegados por las bases, fromando un anillo. Es bonito, pero los vertices no están en una esfera.

[carroza]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

yo tambien tengo este problema, en una asignatura de programacion

Hola. Un posible algoritmo, basado en la física, es el siguiente:

1) Poneis las N particulas al azar en la superficie de la esfera $(\theta(i), \phi(i))$.

2) Calculáis el campo eléctrico que genera el resto de las partículas sobre una dada. Expresais el campo en coordenadas esféricas, y quitais la componente radial. Os quedan $E_\theta(i). E_\phi(i)$

3) desplazáis cada una de las partículas una cantidad pequeña proporcional
al campo eléctrico.

$\theta(i)= \theta(i) + \delta E_\theta(i); \phi(i)= \phi(i)+ \delta E_\phi(i);$


4) Volveis a 1, e iterais hasta que los campos sean despreciables. En ese momento habeis llegado a una situación de equilibrio, en la que el potencial es mínimo.


Si lo pensais, este es el camino que seguirían cargas reales, en una esfera, sometidos a fuerzas de rozamiento proporcionales a la velocidad. Cuando las cargas se paran, se ha alcanzado la situación de equilibrio.

[Morloc]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

el problema está en evaluar todas las cargas con todas.

si tuvieramos 2 particulas sería facil, a partir de 3 ya es complicado, porque tienes que moverlas respecto de la 1, y colocas la 2 y la 3, pero luego tambien tienes que mover la 3 respecto de la 2 pero teniendo tambien en cuenta la 1....imaginemos el caso para 25, seria:


Fijamos la 1ª particula

1º) mueves las 24 (particulas 2 hasta 25) en funcion de valores obtenidos con la 1ª particula

2º) mueves las 23 (p. 3 hasta 25) en funcion de 2 y de 1

...

[carroza]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

el problema está en evaluar todas las cargas con todas.

si tuvieramos 2 particulas sería facil, a partir de 3 ya es complicado, porque tienes que moverlas respecto de la 1, y colocas la 2 y la 3, pero luego tambien tienes que mover la 3 respecto de la 2 pero teniendo tambien en cuenta la 1....imaginemos el caso para 25, seria:


Fijamos la 1ª particula

1º) mueves las 24 (particulas 2 hasta 25) en funcion de valores obtenidos con la 1ª particula

2º) mueves las 23 (p. 3 hasta 25) en funcion de 2 y de 1

...

Hola. No creo que este sea el procedimiento correcto.

Para 25 particulas, cojes la posición instantanea de todas ellas, y cambias las posiciones de cada una considerando el campo que generaban las 24 restantes en su posición inicial.

A partir de las nuevas 25 posiciones, vuelves a obtener los campos, y cambias de nuevo las posiciones de las partículas. Así, hasta que llegas a la posición de equilibrio, en la cual la suma de los campos en cada posición es cero.

[Fenixidiwuy]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

Muchas gracias a todos por vuestras respuestas, ya lo tenemos listo.

[jorgext]

Re: Distribucion de N particulas sobre la superficie de una esfera

Para un computín un montecarlo solucionaría todo el problema
jejeje.

¿No deberías haber escrito el funcional de energía y minimizarlo usando principios variacionales?