1r ciclo Potencial en el interior de un cilindro infinito

[gunbladecat]

Bien pues estaba haciendo un ejercicio de electromagnetismo en el que me piden calcular el potencial de un cilindro infinito de radio a cargado con una densidad de carga constante. Para el caso de dentro del cilindro no tengo ningun problema, sin embargo, fuera del cilindro el campo eléctrico generado por el cilindro a una distancia r responde a la expresión:

$E=\frac {\rho a^2} {2 \epsilon_0 r}$

en la dirección perpendicular a las caras del cilindro. Hasta aquí bien, pero cuando hago la integral del campo para encontrar el potencial (me piden que lo calcule respeto al centro del cilindro) el resultado es:

$V=-\frac {\rho a^2} {2 \epsilon_0 r}\ln (r) + \frac {\rho a^2} {2 \epsilon_0 r} \ln (0)$

pero $\ln (0)$ se va a infinito... el problema está simplemente en que no puedo evaluar el potencial en ese punto que me pide el problema y sin embargo en el solucionario la respuesta que dan es calcada a la mia pero cambiando el $\ln (0)$ por $( \ln (a) - \frac {1} {2} )$ y no se de donde sacan este término...

muchas gracias!!

[woodyalex]

Re: Potencial en el interior de un cilindro infinito

Hechale un vistazo a este hilo en el se resuelve un cilindro cargado.... si despues de leerlo sigue sin salirte no dudes en postear y te respondere mas pormenorizadamente si me es posible.
http://forum.lawebdefisica.com/threa...1413#post41413

[gunbladecat]

Re: Potencial en el interior de un cilindro infinito

De hecho en ese post lo que se calcula es el CAMPO eléctrico. Y yo tengo problemas con el POTENCIAL eléctrico...

[electr0n]

Re: Potencial en el interior de un cilindro infinito

Hola!

Me parece que el problema está en tratar de calcular todo el potencial con una única expresión. Además creo que has escrito mal las fórmulas...

El campo, en módulo, tiene esta forma:

$\displaystyle E(r)=\frac{\rho r}{2\epsilon_0}$ si r<a

$\displaystyle E(r)=\frac{\rho a^2}{2\epsilon_0}\frac{1}{r}$ si r>a (o r=a)

Integrando, el potencial también tiene una expresión doble:

$\displaystyle V(r)=\frac{\rho}{2\epsilon_0}\frac{r^2}{2}$ si r<a

$\displaystyle V(r)=\frac{\rho a^2}{2\epsilon_0}lnr$ si r>a (o r=a)

El potencial en un punto a distancia "r" respecto del potencial $V_0$ en el centro será:

$\Delta V=V(r)-V_0=V(r)-V(a)+V(a)-V_0$

ya que la integración es una suma que abarca regiones del espacio con campos diferentes; aquí toca calcular las diferencias de potencial en 2 tramos, cada uno con su campo correspondiente:

$<br /> \displaystyle \Delta V=\int_a^r{\frac{\rho a^2}{2\epsilon_0}\frac{1}{r}dr}+\int_0^a{\frac{\rho r}{2\epsilon_0}dr}=\frac{\rho a^2}{2\epsilon_0}\left(lnr-lna+\frac{1}{2}}\right)<br />$

Los signos me salen al revés que a ti, así que quizá me haya equivocado en algo. Pero sobre todo es importante recalcar el método de cálculo en dos tramos.

Un saludo.

[gunbladecat]

Re: Potencial en el interior de un cilindro infinito

muchas gracias electron, justo era eso de los dos tramos lo que me fallaba... y creo que lo de los signos llevaría yo razón no? puesto que el potencial es menos la integral del campo eléctrico y creo que olvidaste ese menos delante...
muchas gracias

[electr0n]

Re: Potencial en el interior de un cilindro infinito

Tienes razón, me comí el signo.

$<br /> \displaystyle \Delta V=-\int_a^r{\frac{\rho a^2}{2\epsilon_0}\frac{1}{r}dr}-\int_0^a{\frac{\rho r}{2\epsilon_0}dr}=-\frac{\rho a^2}{2\epsilon_0}\left(lnr-lna+\frac{1}{2}}\right)<br />$

Ahora ya está todo correcto

Saludos