Secundaria Problema con presión hidrostática

[Guyik]

Hola a todos!

Soy estudiante, acabo de terminar bachillerato y me dispongo a dar unas clases de divulgación basadas en experiencias físicas a unos amigos. No sé bien por dónde empezar, pero se me ocurre que la presión podría ser un buen tema (si tenéis sugerencias sobre experimentos sencillos que ayuden a entenderla cuantitativamente os las agradeceré ).

Para empezar, he pensado que podría demostrar que la presión aumenta con la profundidad (ya que hay más "capas" de líquido con masa). Planteo el siguiente experimento:

En un prisma cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado se añade un litro de agua. Se conoce la densidad del agua: d = 1Kg/L
Por tanto podemos conocer la masa del agua, y con ésta y la intensidad del campo gravitatorio (g = 10N/Kg) podemos calcular la fuerza que actúa sobre la base del prisma:
$F = m g = d v g$

Además, conocemos que el volumen de un prisma es igual a la superficie de la base multiplicada por la altura: $v = s h$ => $F = d s h g$

Como la presión es fuerza entre superficie: $P = F/s$, podemos calcular fácilmente, mediante sustitución, la presión que ejerce el agua sobre la base del recipiente $P = (d s h g) / s = d h g$ => $F = d g h$


Se repite la experiencia, y los cálculos, con prismas diferentes, pudiendo ser también un cilindro, y nos damos cuenta de que la fuerza ejercida sobre la superficie, con un litro de agua, es siempre la misma. En cambio, la presión varía, pero como también notamos que la profundidad a la que está la base del prisma con respecto a la superficie es mayor cuanto menor es la superficie de la base, probamos a calcular la presión con alturas de agua diferentes. Tras hacer los cálculos pertinenetes, rápidamente nos damos cuenta de que la presión sólo depende de la densidad, gravedad y altura del agua.


El problema aparece en la siguiente experiencia: ¿y si el agua la ponemos en un tronco de cono, o en dos prismas empalmados de base cuadrada pero diferente lado? En este caso la presión sobre la superficie, ¿sería la masa del agua dividida entre la superficie? Si fuera así, la fórmula $P = d g h$ no se cumple.

Esa es mi duda: ¿por qué no se cumple esta fórmula en ese caso? ¿Por cuál debería sustituírla?

Muchas gracias de antemano

[ser humano]

Re: Problema con presión hidrostática

Hola.

Como la presión es fuerza entre superficie: , podemos calcular fácilmente, mediante sustitución, la presión que ejerce el agua sobre la base del recipiente =>

La presión que ejerce el agua sobre la base del recipiente es la fuerza de contacto entre el agua y la base dividida la superficie de la base. Entonces, si nos fijamos en las fuerzas que actuan sobre el agua, tenemos al peso del agua, la fuerza de contacto con el aire (que es producto del peso del aire que está sobre el agua y a la presión -por la tendencia a expandirse- del aire que está en contacto con la superficie del agua), y la fuerza de contacto que le ejerce la base del recipiente. Como el agua está en reposo la fuerza de contacto que el recipiente le ejerce al agua tiene la misma magnitud que las otras fuerzas que se aplican a ella. Como respuesta a ésta fuerza de contacto, está la fuerza que el agua le aplica al recipiente, que es de la misma magnitud que la que el recipiente le aplica al agua, que (por lo ya dicho) tiene como magnitud la suma de la fuerza de contacto entre el aire y el agua y el peso del agua.

El problema aparece en la siguiente experiencia: ¿y si el agua la ponemos en un tronco de cono, o en dos prismas empalmados de base cuadrada pero diferente lado? En este caso la presión sobre la superficie, ¿sería la masa del agua dividida entre la superficie? Si fuera así, la fórmula no se cumple.

Acá aparecen más fuerzas en el sentido vertical (cosa que no pasa si las paredes del recipiente son verticales). Las fuerzas de contacto entre las paredes del recipiente y el fluido tienen componente vertical.
Entonces, la fuerza de contacto entre la base y el fluido tendra la magnitud del caso anterior más la magnitud de la suma de las fuerzas de contacto verticales.

Ahora voy a pensar como demostrar la ecuacion que expusiste, y en el caso de que me salga (y que nadie más lo haya hecho), la expongo.

Saludos

[ser humano]

Re: Problema con presión hidrostática

Resulto ser trivial :

Tomemos un elemento del fluido con forma de un ortoedro cualquiera. Sobre este elemento, en la direccion "vertical", actuara su peso, la fuerza de contacto con lo que esté "sobre él" y la fuerza de contacto con lo que esté "debajo de él". Tomemos un elemento suficientemente pequeño para que las fuerzas de contacto generen una presión uniforme en la superficie tanto inferior como superior. Siendo así, como el elemento esta en reposo:

$$F_s + P - F_i = 0$$

Donde $P$ es el peso, $F_s$ la fuerza de contacto aplicada a la superfice superior del elemente y $F_i$ a la inferior.

Si $\rho$ es la densidad del fluido, $v$ es el volumen del elemento, $s$ la superficie de las caras superior e inferior, $h$ la altura del elemento, $h_i$ la distancia a un "suelo" de la cara inferior, y $h_s$ la distancia al mismo suelo de la cara superior, tengamos en cuenta:

$$P=mg= \rho v g = \rho s h g = \rho s (h_s - h_i) g$$

$$F_s = p_s s$$

$$F_i=p_i s$$

Entonces:

$$p_s s + \rho s (h_s - h_i) g - p_i s = 0$$

Despejando:

$$p_i - p_s = \rho g (h_s - h_i)$$

Hay que notar que ninguna condicion se impuso sobre $h$, por lo que puede tener todo el "largo" que se quiera. Esto implica que la diferencia de alturas $h_s - h_i$ puede ser cualquiera.

En el caso particular de la presion del fondo del recipiente, si se establece que $h_i = 0$ entonces $p_i = \rho g h_s + p_s$ .

Lamentablemente, lo que aún no puedo notar es como darse cuenta de que la presión vertical ejercida por la fuerza de contacto de una parte del recipiente es equivalente a la presion ejercida por el fluido que esté a su misma "altura". Si algo se me ocurre, edito el mensaje y lo expongo.

Saludos