1r ciclo Un corcho sumergido parcialmente en agua...

[Templario777]

Hola amig@s,

considere un corcho de densidad ρ=ρ0/3 ( siendo ρ0 la densidad del agua) de longitud L y sección A, parcialmente sumergido en agua y que pende de un resorte vertical de constante k y longitud natural l0 = 2 L, como se muestra en la figura. Se sabe que,
cuando la mitad del corcho está sumergida, el resorte no está estirado ni comprimido. Suponiendo k = 2ρ0Ag, el corcho está en equilibrio cuando el resorte:

a) no está ni estirado ni comprimido.
b) el resorte está estirado L/18
c) el resorte está comprimido L/18
d) el resorte está estirado 7L/18
e) el resorte está comprimido 7L/18

El problema no me sale.
Saludos,
T777

[Nachop]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

El DCL sería:

$<br /> m\vec a = m\vec g + \vec E + \vec F_e \Leftrightarrow - m\ddot y = - mg + \rho g\left( {y + \frac{L}<br /> {2}} \right) + ky<br />$

La respuesta debiese salir, al igualar el lado izquierdo a cero. Notar que el movimiento es armónico simple

[GNzcuber]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

Hola Templario777,

Para que esté en equilibrio la suma de fuerzas que actúa sobre el corcho debe ser cero, aquí sólo será en el eje Y, pues no hay fuerzas existentes en otras direcciones.

$$\dst \left.\begin{aligned}F_k+P+E=0\\ F_k=k\cdot \Delta L=2\rho_0\cdot A\cdot g\cdot \Delta L\\ P=\frac{\rho_0}{3}\cdot g\cdot A\cdot L\\E=g\cdot \left(\Delta L-\frac{L}{2}\right)\cdot A\cdot \rho_0\end{aligned}\right\}2\Delta L+\frac{L}{3}+\Delta L - \frac{L}{2}=0\Rightarrow \Delta L=\frac{ L}{18}$$

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

Ya veo por qué te metes en problemas de notación con tus profesores Ahora tendrías que aclarar que significa tu resultado. Puesto que $L$ es la longitud del corcho entonces $\Delta L$ es cero. Así que tu uso se refiere a la variación de longitud del resorte y se impone la pregunta... ¿$\Delta L$ positivo es una compresión o un estiramiento? Si tu respuesta es estiramiento, entonces mi resultado no coincide con el tuyo; yo obtengo que el resorte está comprimido $L/18$.

Saludos,

Al

[dany_nash]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

Pues llegue a la alternativa B (tienes la alternativa correcta??) De todas formas pondr'e mi soluci\'on.

En primer lugar, nos dicen que cuando el corcho est'a sumergido a la mitad, es resorte no se encuentra ni estirado ni comprimido, luego, podemos plantear el problema de la siguiente forma: Tenemos un corcho de largo $L/2$ y de masa $M=\rho \cdot A\cdot (\frac{L}{2})$, donde su cara inferior coincide con el limite del nivel del agua y que est'a adosada al resorte, entonces, queremos calcular cuanto es lo que se estira el resorte. Definir'e mi origen en el punto en el que el resorte est'a largo latural, es decir, en la parte en que est'a unida por el corcho. Luego sea $x$ el largo de corcho que se sumerge en el agua y por ende el estiramiento del resorte, entonces se tendr'a que:

$$\displaystyle E + F_r - Mg=0$$

Donde E, es el empuje ,es decir $E= \rho_o gV_s$con $V_s$ el volumen sumergido y $F_r$ es la fuerza del resorte es decir , $F_r=K\cdot x$, luego la ecuacion (1) queda:

$$\displaystyle \rho_o gV_s + k\cdot x - Mg=0\Rightarrow \rho_o gA\cdot x + k\cdot x =Mg\Rightarrow x(\rho_o gA+k)=Mg$$

Luego

$$\displaystyle x=\frac{Mg}{rho_o gA+k}\Rightarrow x=\frac{\rho \cdot A\cdot (\frac{L}{2})g}{\rho_o gA+2\rho_o gA} \Rightarrow x=\frac{\frac{\rho_o}{3}A\cdot (\frac{L}{2})g}{3\rho_o gA}$$

con lo que finalmente se obtiene que :

$$x=\frac{L}{18}$$

Un saludo

[Al2000]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

Cuando corriges tus ecuaciones y vuelves a meter el medio corcho que dejaste por fuera, tu resultado es x = - L/18. Nota que según tu sistema de referencia, similar al mío pero en sentido opuesto, el empuje será el debido a la cantidad de corcho $x + L/2$ y la masa total del corcho es justo el doble de la que usaste.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

Van a pensar que soy maniático (y a lo mejor tienen razón) pero es que muchas veces un problema me queda dando vueltas en la cabeza después de resolverlo (what if...)

Los problemas de selección múltiple siempre me han llamado la atención por la dificultad de diseñarlos sin introducir claves indebidas para resolver el problema o dar como opciones valores que claramente se pueden descartar sin resolver el problema.

En este problema intenté eso al principio y fallé. Es mi actitud natural ante un problema de selección múltiple, descartar las respuestas absurdas a ver si puedo adivinar la respuesta (por eso pienso que estos problemas siempre deberían tener la opción "ninguna de las anteriores").

En este problema las respuestas (a), (b) y (d) se pueden descartar de entrada. Me explico... si el corcho tiene una densidad 1/3 de la del agua flotaría libremente con 1/3 de su volumen sumergido, es decir 1/3 de su altura. Pero el problema dice que con 1/2 sumergido no se hace fuerza sobre el resorte. Como 1/2 es mayor que 1/3 en esa posición el corcho está empujando hacia arriba (algún otro agente contrarresta esta fuerza). Cuando se conecta el resorte, que no está ni estirado ni comprimido, el corcho empujará hacia arriba hasta conseguir la posición de equilibrio; por consiguiente se concluye que el resorte se comprime.

Hasta aquí lo razoné al principio pero no pude discriminar entre las opciones (c) y (e), de modo que resolví las ecuaciones de GNzcuber después de corregir su errorcito con el signo del peso y de cambiar la notación. La respuesta es la que ya señalé. Pero me quedé pensando... ¿se podía discriminar entre (c) y (e) sin resolver el problema? Pues resulta que si.

La parte expuesta del corcho cuando flota libre mediría 2/3. Cuando solo hay 1/2 el resorte no hace fuerza. Entonces con el resorte conectado la longitud de corcho sobre el nivel del agua estárá comprendida entre 1/2 y 2/3 y el resorte se habrá comprimido una longitud entre 0 y (2/3 - 1/2), es decir, se comprimirá una longitud entre 0 y 1/6 = 3/18.

Entonces la respuesta, por simple inspección, es la (c)

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

Hola a todos,

Perdonad por no haberme explicado más. Sí efectivamente $\dst \Delta L$ es una compresión, he pensado lo mismo que Al, pero menos en profundidad, simplemente si cuando el corcho está sumergido a la mitad el muelle está en equilibrio, pues al dejar el corcho libremente, este flotaría porque es menos denso que el agua, la cuantificación la ha escrito Al más arriba, y necesariamente el estado de equilibrio sería con una compresión del resorte.

Otra cosa que deba explicar, es que tomé como positivo el sentido "hacia abajo" en la figura, por ello tanto $\dst F_k$ como el peso son positivos y el empuje es negativa.

¡Saludos!

[Templario777]

Re: Un corcho sumergido parcialmente en agua...

Hola dany,

no entiendo por que planteas el problema como si tuvieras un corcho de la mitad de su longitud original. Si me puedes explicar un poco más.

Por otro lado, casi casi, la alternativa correcta es la b).

Gracias!
T777