1r ciclo Problema sobre fluidos.

[Lust]

Imagino que la respuesta es más sencilla de lo que parece a este problema, pero ando un poco perdida:

Tenemos una pecera de forma cúbica cuyo lado mide a = 60 cm. ¿Hasta qué altura hemos de llenarla para que la fuerza debida a la presión sobre una de las caras de las paredes sea 1/6 de la que actúa en el fondo?

¡Gracias!

[Risu]

Re: Problema sobre fluidos.

Bueno, voy a darte una respuesta pero espera confirmación (aunque me parezca muy sencillo el problema).

Lo primero dibújate un cubo, a los dos lados de la base los llamas igual (p.ej. "a") y al restante (altura) le asignas otro nombre (yo lo he llamado b).
Bien, lo primero es calcular la presión que va a actuar en el fondo en cada momento (lo relacionamos con la altura). Para ello calculamos el volumen de agua que introducimos (para sacar, por tanto, la masa y por tanto la presión).

Procedemos:

·Volumen que actúa sobre el fondo: V=${a}^{2}b$
·Entonces la presión que actúa en el fondo va a ser: P=$\frac{F}{S}=\frac{{a}^{2 }b1000g }{ {a}^{2 }}$
Con F, fuerza que actúa sobre esa masa de agua, ${a}^{2}$b1000 la masa de agua (volumen por densidad -1000-), y g la aceleración gravitatoria.
Arreglándolo nos queda: P=gb1000 ($\rho$gh), que es, y no por casualidad, la fórmula de la presión hidrostática.

Bien, esa presión es la misma para las caras laterales en cualquier momento (creetelo, pues es así ). Pero la fuerza no, pues esa presión está actuando en superficies diferentes.
Pues esto ya está.
·Fuerza que actúa en el fondo: F=P·S =>F=gb1000·${a}^{ 2}$
·Fuerza lateral: F=gb1000·ab y queremos que sea $\frac{1}{6 }$ de la del fondo=>
gc1000ab=$\frac{1}{6 }$gb1000${a}^{ 2}$; lo arreglamos un poco y (tachán, tachán)...

b=$\frac{1}{6 }$a=0'1 m.

Ahora revisa, lee mil veces el mensaje y busca los términos que no entiendas.

Un saludo y piensa un poquito más la próxima vez, que si no, sintiéndolo mucho, no vale para nada.

[GNzcuber]

Re: Problema sobre fluidos.

Hola Risu,

Yo ahora debo salir a trabajar y no puedo hacer este ejercicio, pero recuerda que la fuerza que actúa es diferente en cada capa de las paredes, mientras que en el fondo es:

$$\dst F=p\cdot S=\rho a^2\cdot b\cdot g\cdot (a^2)$$

La de los laterales varía por diferencial de altura: $\dst {d}F=p{d}S=\rho a^2\cdot b\cdot g \cdot (a{d}b)$

Luego, la fuerza sobre cada pared lateral es:

$$\dst F=\rho \cdot g\cdot a^3\int_0^bh{d}h=\rho\cdot g\cdot a^3\cdot \frac{b^2}{2}$$

Bueno, lo he hecho rápido y espero no haberme equivocado.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Problema sobre fluidos.

...
Tenemos una pecera de forma cúbica cuyo lado mide a = 60 cm. ¿Hasta qué altura hemos de llenarla para que la fuerza debida a la presión sobre una de las caras de las paredes sea 1/6 de la que actúa en el fondo?
...

Recuerda que la presión varía con la altura: $P = \rho g y$

- Fuerza sobre el fondo: $\dst F_f = \rho g a^2 h$

- Fuerza sobre un lado: $\dst F_l = \int_{0}^{h}\! \rho g y \cdot a dy = \frac 1 2 \rho g a h^2$

Entonces: $\dst \frac {F_l}{F_f} = \frac 1 6 \quad \Rightarrow \quad \boxed {h =\frac 1 3 a}$

Saludos,

Al

[Lust]

Re: Problema sobre fluidos.

.......................

[Risu]

Re: Problema sobre fluidos.

Ummmm...
A mí me da $\frac{1}{6 }$a y a vosotros $\frac{1}{3 }$a, me he debido de equivocar en algún cálculo por ahí, lo revisaré...

[Risu]

Re: Problema sobre fluidos.

Hola Risu,

Yo ahora debo salir a trabajar y no puedo hacer este ejercicio, pero recuerda que la fuerza que actúa es diferente en cada capa de las paredes, mientras que en el fondo es:

$$\dst F=p\cdot S=\rho a^2\cdot b\cdot g\cdot (a^2)$$

Pero esto esta mal, ¿no?.
La presión hidrostática es

$$\rho g\cdot b$$

(b=h), no

$$\rho a^2\cdot b\cdot g$$

, eso explica que me dé el doble...

No sé...

[GNzcuber]

Re: Problema sobre fluidos.

Hola,

Sí, está mal. Ya he anticipado que lo estaba haciendo muy rápido que debía marchar.

La presión hidrostática es:

$$\dst p=\rho\cdot g\cdot h$$

Luego, si se encuentra a una altura $\dst B$, la fuerza ejercida en la superficie será el producto de la presión por la superficie:

$$\dst F_S=p\cdot S=\rho\cdot g\cdot B\cdot a^2$$

Luego, en cada pared tendremos que la presión varía a medida que nos desplazamos verticalmente, ya que la presión en las capas inferiores será mayor (aguantan el peso del agua que está por encima). La fuerza varía del modo siguiente:

$$\dst {d}F_L=S\cdot {d}p=a\cdot b\,{d}(\rho\cdot g\cdot b)=a\cdot \rho\cdot g\cdot b{d}b$$

La fuerza en cada lateral será la suma de todas las fuerzas que actúan en cada diferencial de capa, así que su suma (integral) es:

$$\dst F=a\cdot \rho\cdot g\int_0^Bb{d}b=a\cdot \rho\cdot g\frac{B^2}{2}$$

Ahora lo que queremos saber es la altura para que la presión de un lateral sea un sexto de la superficie inferior:

$$\dst F_L=\frac{F_S}{6}\Rightarrow a\cdot\rho\cdot g\frac{B^2}{2}=\frac{a^2\cdot\rho \cdot g\cdot B}{6}$$

$$\dst B=\frac{a}{3}$$

¡Saludos!