1r ciclo Corona de Arquimedes!

[lindtaylor]

El rey Hieron de Siracusa pidio a Arquımedes que examinara una corona maciza
que habıa ordenado hacer de oro puro. La corona pesaba $10 kg$ en el aire y
$9.375 kg$ sumergida en agua. Arquımedes concluyo que la corona no era de puro
oro. Asumiendo que en su interior contenıa plata, ¿cuanto oro tenıa la corona
de Hieron? La densidad del oro es $19.3 g/cm^3$; la de la plata, $10.5 g/cm^3$.

La primera parte es:

$T_1$:tension que siente la corona en el aire $T_1=10g$
$T_2$:tension que siente la corona en el agua $T_2=9.375g$
$F_G$: peso de la corona en el aire
$\rho_a$: densidad agua
$\rho_c$: densidad corona
$V_c$:volumen corona

$\displaystyle T_1=F_g$(cuando la bascula pesa la corona en el aire)

$\displaystyle E+T_2-F_g=0$ (corona en el agua)

$\displaystyle E=F_G-T_2<br />$
$\displaystyle E=\rho_agVc$

$\displaystyle V_c=\frac {(F_g-T_2)}{\rho_a g}$
finalmente la densidad de la corona es:

$\displaystyle \rho_c=\frac {m_Cg}{V_C}$$\displaystyle=\frac {F_g}{V_C}$
La cual si se reemplazan numericamente los valores es distinta al a densidad del oro puro.

La otra parte para determinar la cantidad de oro en la corona, como se haria?.
gracias de antemano

[lindtaylor]

Re: Corona de Arquimedes!

$\displaystyle m_{oro}+m_{plata}=m_{corona}$

$\displaystyle V_{oro}+V_{plata}=V_{corona}= \frac {m_{oro}}{\rho_{oro}}+\frac {m_{plata}}{\rho_{plata}}=\frac {m_{corona}}{\rho_{corona}}<br />$

Seria asi cierto?

[Al2000]

Re: Corona de Arquimedes!

Despreciando el empuje del aire, el peso de la corona en el aire es: $\dst W_{\text {aire}} = \rho_{\text {corona}} V_{\text {corona}} g$

El peso de la corona en el agua es: $\dst W_{\text {agua}} = (\rho_{\text {corona}}-\rho_{\text {agua}}) V_{\text {corona}} g$

de donde se obtiene la densidad de la corona: $\dst \boxed {\rho_{\text {corona}} = \frac {W_{\text {aire}}}{W_{\text {aire}}-W_{\text {agua}}}\rho_{\text {agua}}}$

Haciendo una proporción lineal entre la densidad de la plata y la densidad del oro, la densidad de la corona sería

$\dst \rho_{\text {corona}} = \rho_{\text {oro}} x + \rho_{\text {plata}}(1-x) = \rho_{\text {plata}}+(\rho_{\text {oro}}-\rho_{\text {plata}}) x$

de donde se obtiene que la fracción de oro en la corona es

$\dst \boxed {x = \frac {\rho_{\text {corona}}-\rho_{\text {plata}}}{\rho_{\text {oro}}-\rho_{\text {plata}}}}$

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Corona de Arquimedes!

...
Ahi lo hize de una forma pero mejor lo de AL :B

Que bueno que resucitaste ese muerto, porque sería una lástima dejar semejante error sin enmienda. En verdad no sé que bicho me picó cuando escribí que la proporción en las densidades era igual a la proporción en las masas... algo sin ningún soporte.

Lo que tenía que haber escrito es

$\dst V_\text {corona} = \frac {M_\text {oro}}{\rho_\text {oro}} + \frac {M_\text {plata}}{\rho_\text {plata}} = \frac {M_\text {corona}\,x}{\rho_\text {oro}} + \frac {M_\text {corona}\,(1-x)}{\rho_\text {plata}} \quad \Rightarrow \quad \frac 1 {\rho_\text {corona}} = \frac x {\rho_\text {oro}} + \frac {1-x}{\rho_\text {plata}}$

y despejar $x$ para obtener

$\dst \boxed {x = \frac {\rho_\text {corona} - \rho_\text {plata}}{\rho_\text {oro} - \rho_\text {plata}} \frac {\rho_\text {oro}}{\rho_\text {corona}}}$

o alternativamente

$\dst \boxed {x = \frac {1 - \rho_\text {plata}/\rho_\text {corona}}{1 - \rho_\text {plata}/\rho_\text {oro}}}$

Bien, corregido el entuerto. Perdón por esta y las por venir...

Saludos,

Al

[Jose D. Escobedo]

Re: Corona de Arquimedes!

I'm sorry Al, pero creo que piden la cantidad y no un porcentaje. En este problema se cumple el principio de Arquimides y La segunda ley de Newton

$N +E -mg = 0 \Rightarrow E = Mg - N \Rightarrow$

$\dst \delta_{H_2 O} V_T = M_T - \frac{N}{ g}$...(1)

$\dst V_T = V_o +V_p =\frac{m_o}{\delta_o } +\frac{m_p }{\delta_p }$...(2)

$m_o + m_p = M_T$...(3)

Jugando al algebra con (1) ,(2) , (3) y encontrando $m_o \Rightarrow$

$\dst m_o \approx 7.539 Kg$

Saludos.

[lindtaylor]

Re: Corona de Arquimedes!

Gracias Escobedo pero con la ayuda de Al me fue suficiente en ese entonces

Sim embargo gracias a ti igual!!