Olimpiada Cuestón olímpica

[Resh]

[FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT][FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT]Cuestión 6.- (UJI) - 2006[/FONT][/FONT]
[FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT][FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]Una batisfera (dispositivo para investigar a grandes profundidades) es una [FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]esfera hueca de acero de paredes gruesas (4 cm) cuyo diámetro exterior es de [FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]1,4 m y que se sumerge sostenida por un cable también de acero. El cable [FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]tiene una sección transversal de 450 mm^2 y una resistencia a la rotura de[FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]100 kN. Determina la máxima profundidad a la que puede sumergirse dicha [FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]batisfera con seguridad[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]
[FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][/FONT][/FONT]
[FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPS-BoldItalicMT] Densidad del agua marina = 1035 kg/m^3[/FONT]



[/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]Densidad del acero = 7860 kg/ m^3[/FONT][/FONT]
[FONT=TimesNewRomanPSMT]


[/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT][FONT=TimesNewRomanPSMT]Gravedad terrestre = 9.8 m/ s^3[/FONT][/FONT]

Para qué da el dato de la sección transversal del cable?

[/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT][/FONT]

[Al2000]

Re: Cuestón olímpica

¿Para determinar el volumen del cable sumergido? Aparentemente se trata de un problema de principio de Arquímedes, el peso de la batisfera mas el cable que la sujeta no debe exceder 100 kN. Poniendo que la batisfera lleve unos 100 kg de peso en su interior (asunto que no se menciona en la pregunta), mis cálculos dan 3000 m aprox.

Saludos,

Al

[Resh]

Re: Cuestón olímpica

Gracias, Al, yo ahora lo he resuelto así:
$(M cable+M paredes + M interior)g=100000N$

$(\rho ac.A.H+\rho ag.\frac{4}{3 }.\pi .{r}^{3 } +\rho ac\frac{4}{3 }\pi .{r'}^{ 3})g=100000$

De ahí saco H:
$H\approx -11464.5 m$

[Al2000]

Re: Cuestón olímpica

Siendo mas preciso, mi resultado es de 3179 m. Fíjate que tu resutado no tiene sentido, la longitud del cable no te puede dar negativa. Y es que estás sumando todos los términos. La cuenta debe ser Peso_batisfera + peso_cable + peso_carga_útil - empuje = tensión_máxima. El empuje sería el peso de agua desplazada por el cable y por la batisfera.

Saludos,

Al

[Resh]

Re: Cuestón olímpica

Por favor, Al, me puedes explicar mas detalladamente el proceso?
Gracias

[Al2000]

Re: Cuestón olímpica

Llamando $t$ al espesor de las paredes de la batisfera, $D$ su diámetro externo, $A$ el área de sección transversal del cable y $T$ la máxima tensión del cable, tienes que

- Peso de la batisfera: $\dst W_b = \frac \pi 6 [D^3 - (D-2t)^3] \rho_\text {acero} g$

- Peso del cable: $\dst W_c = A H \rho_{\text {acero}} g$

- Peso carga útil: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

- Empuje del agua: $\dst E= \left(\frac \pi 6 D^3 + A H \right) \rho_\text {agua} g$

Pónlo todo junto y despeja H: $\dst W_b + W_c + W_{cu} - E \leqslant T$

Saludos,

Al

[Resh]

Re: Cuestón olímpica

Muchísimas gracias Al, entiendo el planteamiento, pero el dato de 100Kg no se puede sacar de ninguna forma?, entonces faltaba un dato?

[Al2000]

Re: Cuestón olímpica

El dato no hay como sacarlo de lo que has puesto. Poner 100 kg es sólo un valor que pudiera ser razonable, pero sin información de que contiene el batiscafo (pues no tiene sentido que la esfera baje vacía) no es mas que una suposición. Por otra parte sólo cable ya cuenta por 11200 kg (y 1800 kg el batiscafo), de manera que considerar la carga útil quizá sea hilar muy fino.

Saludos,

Al

[Richard R Richard]

Re: Cuestón olímpica

Segun wikipedia

[FONT=sans-serif]La tensión de rotura es definida como una tensión que se mide en unidades de [/FONT]fuerza[FONT=sans-serif] por unidad de [/FONT]área

que es lo mismo que la resistencia a la rotura

entonces el enunciado deberia decir $100KN/cm^2$ y ahora la seccion es util para saber la fuerza maxima que soporta el cable $Fm= S {\tau}_{r }$ lo real para el acero es ${\tau}_{r }= 250 MPa$ cuatro veces menos a lo propuesto ( pero bueno solo es un problema)

no le agregaria los 100kg , con que objeto, no esta en el problema, hoy la mayoria de los submarinos abisales, no son tripulados, ni llevan carga util, solo traen agua y muestras la mayoria de las veces y esto no afecta al problema.

- Peso de la batisfera:

- Peso del cable:

- Empuje del agua:

Ahora todo junto H: $\dst W_b + W_{cu} - E \leqslant Fm= S {\tau}_{r }$


Otra aporte cuando se diseña el cable no se lo hace en funcion a su resistencia a la rotura se lo hace en funcion de su resistencia elastica, donde se cumple la ley de Hooke ( recupera su longitud original cuando le quitas la carga) o se toman factores de seguridad como por ejemplo 6 que seria un numero para dividir la longitud del cable para estar seguro que por imperfecciones, uso, ataques corrosivos, bla bla bla no se corte.