Secundaria Experimento de presión de agua.

[abemaz]

Quisiera saber el resultado del siguiente experimento: Un globo inflado de aire es atado a una piedra pesada, y sumergido en una piscina. Al hundirse, ¿Que le ocurre al globo?
¿ Explotaría el globo, se desinflaría..... o que ocurriría ? Gracias por la ayuda.

[arivasm]

Re: Experimento de presión de agua.

Comencemos pensando en el globo en una situación "normal": hinchado, tranquilamente encima de una mesa, por ejemplo. El volumen del globo será el resultado del equilibrio de tres términos de presión. La que hay en su interior, ejercida por el gas que contiene, será igual a la suma de los otros dos: la presión que ejerce el exterior (por ahora, la atmósfera) más la presión que corresponde a la tensión de su membrana.

Lo que complica tu pregunta es, precisamente, esta última, pues tiene mucha influencia la forma del globo, como se indica muy gráficamente en esta entrada de Hyperphysics. Si te parece, vamos a hacer algo muy típico de los físicos (y que da lugar a innumerables chistes): vamos a suponer que el globo es esférico y que cumple estrictamente la ley de Laplace que, despreciando el grosor de la membrana, se puede escribir como $\Delta p = 2 \sigma / r$, siendo r el radio del globo y $\sigma$ la tensión superficial (que, en nuestra línea algo chapucera, también tomaremos como constante).

Así pues, como en el interior del globo la presión es $n R T / V = A(n,T) / r^3$, donde, por comodidad, he agrupado todo lo que no se refiera al radio, tenemos que el globo satisfará la ecuación $f(r)=\frac{A}{r^3}-\frac{2 \sigma}{r}=p_{ext}$. Nuestra pregunta, por tanto, es que ocurrirá con el radio del globo a medida que vaya aumentando la presión exterior. Por cierto, seguiremos con las aproximaciones: vamos a ignorar posibles cambios en la temperatura, de manera que A también será una constante.

Edito los párrafos siguientes, porque son incorrectos:
La función f(r) tiene un mínimo, $r^* = \sqrt{3A/4\sigma}$, y tiende a infinito tanto por debajo como por encima de dicho valor. Eso significa que para cada presión exterior habrá dos radios posibles y que entonces todo dependerá de qué lado del mínimo nos encontremos al principio! Si el radio inicial del globo es menor que $r^*$ el aumento de la presión exterior disminuirá su radio, si es mayor sucederá justamente lo contrario.

Como indico en un otro post, f(r) tiene una asíntota vertical para r=0, se anula en $\sqrt{A/2\sigma}$ y desde ahí hasta infinito es negativa, tendiendo asintóticamente a cero.

¿Qué ocurre con nuestro globo de verdad? Quiero decir, con uno de esos de goma de toda la vida. Pues que el aumento de la presión exterior disminuye su radio (el valor de $\sigma$ es "demasiado grande"). Seguro que lo has visto en algún vídeo de Física recreativa (es más, es muy fácil hacer el experimento uno mismo, con una jeringa grande a la que se le obstruye la salida y un pequeño globito en su interior; claro que lo que se ve mejor es lo contrario de lo que acabo de decir: al bajar la presión aumenta el tamaño del globo).

En consecuencia, como al tirar (ya era hora!) el globo a la piscina (o mejor: al océano) atado con la piedra, cual Conde de Montecristo, como la presión exterior irá aumentando con la profundidad según la famosa ley $d_{agua}gh+p_{atm}$, el radio del globo irá disminuyendo más y más y más y más y más....


¡Se me olvidaba! Ni explota ni se deshincha (en el sentido de que no pierde el aire), sólo le sucede lo que quieren hacer con el sueldo de los profesores: cada vez más pequeñito.

[abemaz]

Re: Experimento de presión de agua.

Muchas gracias por la explicación tan instructiva.
Un saludo

[arivasm]

Re: Experimento de presión de agua.

Amigo abemaz. Últimamente debo andar chocheando, pues, como me sucede algunas veces, después de escribir mi respuesta me quedó una neurona inquieta y que discutía con otra. Éste es un ejemplo de su discusión
- ¡Cómo que hay dos radios para la misma presión exterior! -decía la inquieta-
- ¡Pero la conclusión es correcta!, el globo se irá haciendo más pequeño a medida que se sumerja. Es lo que dijimos de la jeringa! -replicaba la otra.
- Sí, todo lo que tú quieras, pero no tiene sentido!
- A ver, dame razones...
Y así se tiraron toda la tarde, con el resto de mi cerebro pensando en hacer la cena, preparar las cosas para mañana y otras tonterías así. Total: la neurona tenía toda la razón. Al final he visto que hay un error en lo que dije de la función f(r). Es verdad que tiene un mínimo, pero no es cierto que tienda a infinito cuando r tiende a infinito, ni mucho menos, sino que tiende a 0 y, para más fastidio, se vuelve negativa por encima de cierto valor, que es $\sqrt{A/2\sigma}$.

Por tanto, el modelo que describí anteriormente debe limitarse al rango de valores aceptables, es decir, aquéllos para los que f(r)>0, lo que equivale a decir que $r<\sqrt{A/2\sigma}$, y entonces se cumple directamente (como debe ser) que a mayor presión exterior menor es el radio del globo.

De todos modos, aunque las neuronas me han quedado algo más tranquilas aún hay una comisión de ellas que están planteando la necesidad de formular un modelo más adecuado.