Otras carreras Hidrostática. Equilibrio dinámico. Ecuaciones del Movimiento de Cauchy

[ernest]

Hola a todos y saludos desde mi primer mensaje en el foro de Física, espero haberlo incluído en la sección adecuada. Paso a exponer la duda:

Empezando a estudiar Hidrostática de fluidos con el libro “El Riego. Fundamentos Hidráulicos”, de A. Losada, 4ª edición (2009), en el apartado III.2. EQUILIBRIO DINÁMICO. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE CAUCHY, dicho libro explica (el texto del libro lo pongo en negrita y cursiva):




Considérese una masa fluida continua en movimiento inmersa en un campo de fuerzas exteriores cuya acción por unidad de masa es

$$\vec{F}(X_1,\ X_2,\ X_3)$$

Dentro de ella, sea la partícula paralelepipédica elemental representada en la figura 3.1 [imagen que adjunto], cuyas caras se orientan según los planos coordenados.







Sobre las caras de la partícula, actúan las fuerzas de enlace

$$\vec{t} =\frac {d\vec{F_e}}{d\omega}$$

Bien, yo entiendo que en la figura 3.1 faltarían esfuerzos: ¿por qué se omiten los esfuerzos siguientes?:
$T_{11}, \ T_{12}, \ T_{13}$ en el plano que corta al eje 1 más cerca del origen de los dos normales a dicho eje,
$T_{21}, \ T_{22}$ en el plano que corta al eje 2 más cerca del origen de los dos normales a dicho eje,
$T_{31}, \ T_{33}$ en el plano que corta al eje 3 más cerca del origen de los dos normales a dicho eje,


$T_{21}+\ T_{21,2} \ dx_2$ en el plano que corta al eje 2 más lejos del origen de los dos normales a dicho eje, y en el mismo plano, el esfuerzo con dirección 2 y sentido positivo (no sé cómo se denominaría),
$T_{31}+\ T_{31,3} \ dx_3$ en el plano que corta al eje 3 más lejos del origen de los dos normales a dicho eje, y en el mismo plano, el esfuerzo con dirección 3 y sentido positivo (no sé cómo se denominaría).


Tampoco entiendo por qué los esfuerzos derivados en el plano que corta al eje 1 más lejos del origen de los dos normales a dicho eje se multiplican por dV mientras que los esfuerzos derivados en los otros planos se multiplican por $\ dx_2$ y por $\ dx_3$.


El libro sigue:


El equilibrio dinámico exige el cumplimiento de la ecuación

$$\vec{F} = m \vec{a}$$

Al proyectar la ecuación (2) sobre el eje coordenado j, se obtiene:

$$\ T_{ij,i}dV + (\rho dV) X_j = (\rho dV) a_j$$

Cuando entienda por qué faltan esos esfuerzos y por qué unos esfuerzos derivados se multiplican por dV y no otros, supongo que podré entender el primer sumando de esta ecuación (3).

Agradecería mucho cualquier ayuda u orientación sobre esta duda.

[ernest]

Hidrostática. Equilibrio dinámico. ACLARACIONES

ACLARACIONES (que debería haber añadido en el primer mensaje):



1.- Convenio seguido en las expresiones de los esfuerzos:

$\ T_{32}$: el 1er subíndice (3) corresponde al eje perpendicular al plano sobre el que está aplicado el esfuerzo; el 2º subíndice (2) corresponde al eje cuya dirección coincide con la dirección del esfuerzo.

Además:

$\ T_{32,3} = \frac{\partial{\ T_{32}}}{\partial{\ x_3}}$

De forma similar para los casos con otros subíndices.



2.- Convenio seguido para abreviar la forma de la expresión del primer sumando de la ecuación (3); se ha seguido el convenio de EINSTEIN: la presencia repetida del mismo índice i, j ó k señala que el monomio afectado equivale a la suma de otros tantos términos en los que dicho índice tomará cada valor posible. Así, dado que [i = 1, 2, 3], la expresión considerada equivale a:

$\ T_{ij,i} dV = \left[ {\frac{\partial{\ T_{1j}}}{\partial{\ x_1}}{\ dx_1}} \right]{\ dx_2}{\ dx_3}+\left[ {\frac{\partial{\ T_{2j}}}{\partial{\ x_2}}{\ dx_2}} \right]{\ dx_3}{\ dx_1}+\left[ {\frac{\partial{\ T_{3j}}}{\partial{\ x_3}}{\ dx_3}} \right]{\ dx_1}{\ dx_2}$

[angelo]

Re: Hidrostática. Equilibrio dinámico. Ecuaciones del Movimiento de Cauchy

Efectivamente, la figura está incompleta, a parte de ser un poco liosa. No sé si el motivo ha sido no sobresaturar el dibujo de flechas, dando por sentado la aplicación de los demás esfuerzos. Lo único que tienes que hacer es dibujar de forma análoga al triedro de flechas en la cara 1, dos triedos más aplicados en la cara 2 y 3 respectivamente (elimina antes los esfuerzos que aparecen ahí dibujados). Una vez hecho esto, realizas el balance dinámico de fuerzas en cada dirección, obteniendo la expresión (3) de tu primer post.

[ernest]

Posible solución

Muchas gracias por tu respuesta, angelo.
La verdad es que con tu ayuda creo que he visto dónde estarían las incorrecciones: añado una imagen de cómo quedaría la figura, con todas las tensiones que faltan (que no esfuerzos) en naranja (corrección 3 en el texto que sigue a la imagen), y en naranja pero subrayadas en rojo las correcciones en la cara perpendicular al eje 1 más alejada del origen (correcciones 1 y 2 explicadas posteriormente en el texto que sigue a la imagen), cara en la que las notaciones quedan también como tensiones.





1.a. EN EL LIBRO (figura de mi primer post):
en la cara perpendicular al eje 1 más lejana al origen sólo hay derivadas parciales de tensiones respecto a la dirección 1, derivadas parciales que por tanto deben estar multiplicadas por $\ dx_1$. Como además estas tensiones se multiplican por la superficie en la que están aplicadas ($\ dx_2 \ dx_3$), el resultado no son tensiones sino esfuerzos, quedando:

$$T_{11,1 }\ dx_1\ dx_2\ dx_3 = \ T_{11,1} dV$$

Igual con las otras dos notaciones en esta cara: $T_{12,1 }$ y $T_{13,1 }$
Dado que en las otras 4 caras en las que hay vectores en la figura del libro, las correspondientes notaciones no están multiplicadas por la superficie en la que están aplicados, son tensiones y no esfuerzos. Entonces, para unificar todas las notaciones, cambio las de esta cara (la cara perpendicular al eje 1 más alejada del origen) de esfuerzos a tensiones (se podría haber hecho cambiando el resto de caras de tensiones a esfuerzos multiplicando cada tensión por la superficie sobre la que está aplicada; por ejemplo, si se trata de las caras perpendiculares al eje i, multiplicando por: $\ dx_j \ dx_k$):


1.b. EN LA FIGURA MODIFICADA (figura en este post)
pongo las notaciones de la cara perpendicular al eje 1 más alejada del origen como tensiones, y no como esfuerzos. Para ello, las 3 tensiones deben estar multiplicadas sólo por $\ dx_1$ y no por $\ dx_1 \ dx_2 \ dx_3 = dV$. En la figura modificada, entonces, estas tensiones quedan multiplicadas por $\ dx_1$.





2.a. EN EL LIBRO (figura de mi primer post):
Las tensiones de caras opuestas tienen un sumando común: el correspondiente a la notación de la cara más cercana al origen. En la cara más lejana al origen, la notación correspondiente es un sumando que coincide con la tensión de la cara más cercana al origen, al que le suma la derivada parcial de esa tensión según la dirección perpendicular a dichas caras. Esto no ocurre en las caras perpendiculares al eje 1, por lo tanto añado los sumandos que faltan a la cara perpendicular al eje 1 más lejana al origen:

2.b. EN LA FIGURA MODIFICADA (figura en este post)
lo que he hecho es añadir a las 3 notaciones de la cara perpendicular al eje 1 más lejana al origen, el respectivo sumando correspondiente de la cara perpendicular al eje 1 más cercana al origen ($T_{11 }, \ T_{12}$ ó $\ T_{13}$).




3.a. EN EL LIBRO (figura de mi primer post):
Faltan esfuerzos, mejor dicho tensiones, en todas las caras excepto en la perpendicular al eje 1 más lejana al origen (en la que sí están los vectores correspondientes a todos los esfuerzos).

3.b. EN LA FIGURA MODIFICADA (figura en este post)
añado todos los vectores tensión que faltan, con sus correspondientes notaciones.




Lo que no entiendo aún es la supuesta incorrección del libro en:
1.- poner tensiones en unas caras y esfuerzos en otra.
2.- no poner el sumando común en las notaciones de las caras perpendiculares al eje 1.
3.- no dibujar todas las tensiones actuantes.



Si alguien tiene algo que añadir, sobre todo que ayude a entender esas supuestas incorrecciones, o que interprete la figura original (del libro) de otra forma, será bienvenido y muy agradecido.





Para concluir, la ecuación de equilibrio dinámico, expresión (3) de mi primer post; en concreto, su primer sumando:

Esta ecuación no tiene en cuenta todas las tensiones, sino sus gradientes o diferencias entre caras opuestas, que son los que causan una fuerza neta sobre la superficie total del volumen infinitesimal. Es decir, las derivadas parciales, que al estar multiplicadas por la diferencial correspondiente, si se multiplican también a su vez por la superficie diferencial sobre la que están aplicadas queda $\ dx_1 \ dx_2 \ dx_3$ = dV.

Saludos.