Otras carreras Fuerza hidrostática compuerta circular.

[tate]

Hola a todos, estoy intentando hacer el siguiente problema y no sé por dónde meterle mano. Los de compuertas planas sí sé hacerlos, pero los de este tipo se me resisten.



Espero me puedan ayudar.

Gracias y saludos!

[angelo]

Re: Ayuda. Fuerza hidrostática compuerta circular.

Como sabes, la fuerza de presión hidrostática sobre un cuerpo sumergido es perpendicular a cada elemento de área (en este caso 2D, elementos de línea). Dependiendo de la profundidad, el valor de la presión es

$p=p_a+\rho gh=p_a+\rho gR\sin\theta$,

y la fuerza hidrostática (por unidad de longitud transversal al plano del dibujo) sobre un elemento de línea a esa profundidad será

$d\mathbf{F}=-pRd\theta\mathbf{u}_r$,

siendo $\mathbf{u}_r$ el vector unidad en dirección radial.
Tendrás entonces que descomponer el vector de fuerza hidrostática en cada punto de la compuerta en su componente horizontal y vertical. Esto es

$d\mathbf{F}_x=pR\cos\theta d\theta\mathbf{u}_x=(p_a+\rho gR\sin\theta)R\cos\theta d\theta\mathbf{u}_x$ y $d\mathbf{F}_y=pR\sin\theta d\theta\mathbf{u}_y=(p_a+\rho gR\sin\theta)R\sin\theta d\theta\mathbf{u}_y$

Una vez tengas cada componente expresada en función del ángulo, solamente te resta integrar cada una entre 0º y 60º.

[tate]

Re: Fuerza hidrostática compuerta circular.

Muchas gracias angelo.

La verdad es que estoy algo perdido con éste tipo de ejercicios, ya que en los apuntes que tengo no lo tengo todo lo bien explicado que desearía. Estoy mirando en mis apuntes y supuestamente hay que descomponer la fuerza en Fh (horizontal) y Fv (vertical). Para la fuerza vertical habría que considerar la densidad, la gravedad y el volumen...la verdad es que estoy hecho un poco lío, ya que veo que en tu explicación no está considerado el volúmen. Espero me puedas echar un cable de nuevo, jeje.

Muchas gracias y un saludo!

[angelo]

Re: Fuerza hidrostática compuerta circular.

Hola tate,

Leyendo lo que dices, los más seguro es que en tus apuntes lo resuelva aplicando el principio de Arquímedes: la fuerza hidrostática vertical neta sobre la compuerta sumergida será equivalente al peso del fluido en el volumen desplazado por esta. De todas formas, nunca he resulto este tipo de problemas así.

Si te fijas, este problema es conceptualmente idéntico al uno de compuerta plana. La única diferencia es que los elementos de línea $dl$ de esta compuerta curva están definidos ahora por elementos de arco $dl=Rd\theta$. A su vez el vector normal al elemento sería $\mathbf{u}_r$, que apunta siempre en la dirección radial, en vez de simplemente $\mathbf{u}_x$ como ocurre en compuertas planas.

- - - Actualizado - - -

Como sabes, la fuerza de presión hidrostática sobre un cuerpo sumergido es perpendicular a cada elemento de área (en este caso 2D, elementos de línea). Dependiendo de la profundidad, el valor de la presión es

$p=p_a+\rho gh=p_a+\rho gR\sin\theta$,

y la fuerza hidrostática (por unidad de longitud transversal al plano del dibujo) sobre un elemento de línea a esa profundidad será

$d\mathbf{F}=-pRd\theta\mathbf{u}_r$,

siendo $\mathbf{u}_r$ el vector unidad en dirección radial.
Tendrás entonces que descomponer el vector de fuerza hidrostática en cada punto de la compuerta en su componente horizontal y vertical. Esto es

$d\mathbf{F}_x=pR\cos\theta d\theta\mathbf{u}_x=(p_a+\rho gR\sin\theta)R\cos\theta d\theta\mathbf{u}_x$ y $d\mathbf{F}_y=pR\sin\theta d\theta\mathbf{u}_y=(p_a+\rho gR\sin\theta)R\sin\theta d\theta\mathbf{u}_y$

Una vez tengas cada componente expresada en función del ángulo, solamente te resta integrar cada una entre 0º y 60º.

Una pequeña, pero importante, autocorrección. Para calcular la fuerza resultante, es necesario tener en cuenta la presión ejercida por la atmósfera en la cara libre de la compuerta. Las expresiones anteriores quedarían:

$d\mathbf{F}=-(p-p_a)Rd\theta\mathbf{u}_r$

$d\mathbf{F}_x=(p-p_a)R\cos\theta d\theta\mathbf{u}_x=(\rho gR\sin\theta)R\cos\theta d\theta\mathbf{u}_x$ y $d\mathbf{F}_y=(p-p_a)R\sin\theta d\theta\mathbf{u}_y=(\rho gR\sin\theta)R\sin\theta d\theta\mathbf{u}_y$

[tate]

Re: Fuerza hidrostática compuerta circular.

Mucha gracias angelo, tu ayuda me sirvió de mucho.

Saludos!