Secundaria Superficie equipotencial de presión en un fluido

[ADarkPerson]

¿Por qué el valor de la presión hidrostática es igual para todos aquellos puntos que se encuentran a la misma profundidad, aunque sobre algunos de ellos no se encuentra directamente la columna de agua, sino que están en el interior de "recovecos"?

Por ejemplo, ¿por qué los puntos C y D de esta imagen soportan la misma presión que los puntos A y B?

[angelo]

Re: Superficie equipotencial de presión en un fluido

Esto es consecuencia de la ecuación fundamental de la fluidoestática. En un fluido en reposo, donde solamente intervienen lan fuerzas gravitatorias, se tiene que

$\dst \nabla p=-\rho g\mathbf{u}_z$

donde $\nabla p$ es el gradiente de presiones, $\nabla p=\frac{\partial p}{\partial x}\mathbf{u}_x+\frac{\partial p}{\partial y}\mathbf{u}_y+\frac{\partial p}{\partial z}\mathbf{u}_z$

Desarrollando y resolviendo la expresión anterior (tomando el origen del eje vertical en el fondo del recipiente), llegamos a

$\dst \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g \Rightarrow p(z)-p(0)=-\rho gz$

La condición de contorno en la superficie libre $(z=h)$ nos dice que $p(h)=p_a$, por tanto $p(0)=p_a+\rho gh$. Finalmente se escribe

$\dst p(z)=p_a+\rho g(h-z)$

Es decir, la presión hidrostática en un punto de coordenada vertical $z$ será siempre $p(z)=p_a+\rho g(h-z)$, sin importar la forma del recipiente (por extraña que sea) en el que está contenido el líquido.

[ADarkPerson]

Re: Superficie equipotencial de presión en un fluido

Muchas gracias, pero, ¿podrías explicarme cuál es la razón física que hace que esto sea así?, es decir, ¿de qué forma se comportan las partículas del fluido para hacer que la presión hidrostática solo dependa de la profundidad? Creo que era algo sobre que la energía cinética transmitida en los choques entre partículas era mayor a mayor profundidad. Pero no veo con claridad la relación que existe entre esto y la presión, ni por qué los choques son más energéticos a mayor profundidad.

[angelo]

Re: Superficie equipotencial de presión en un fluido

Se puede ver de manera más sencilla. Piensa en uno de esos conductos verticales con forma extraña. La presión a la que está sometida la cara superior de la primera capa de líquido, de espesor infinitesimal $dz$, es la presión atmosférica $p=p_a$. Esta presión, debido al principio de Pascal, se distribuye de forma homogénea por todos los puntos de esa sección. Es decir, la presión a la que está sometida una capa de líquido no varía ni en $x$ ni en $y$ (si solamente actúan fuerzas gravitatorias, claro).

La cara superior de la siguiente capa de líquido que está justo debajo, estará sometida por tanto a la presión atmosférica, más la contribución debida al peso de la primera capa: $p=p_a+\rho gdz$.

Así pues, la capa situada a una altura cualquiera $z$, estará sometida a una presión

$\dst p(z)=p_a+\int_z^h\rho gdz=p_a+\rho g(h-z)$,

que no es más que la presión atmosférica, más la contribución del peso acumulado de todas las capas infinitesimales que quedan por arriba. Es el mismo resultado de antes. Como ves, la forma que tenga el conducto es indiferente.

Por otro lado, si no se cumpliese la ecuación fundamental de la fluidoestática en los puntos a una misma cota, se induciría en el fluido un flujo desde el punto de mayor presión total al de menor, produciéndose finalmente una diferencia de altura en el nivel de líquido de los conductos. Esto no ocurre en la realidad, y viola el fenómeno de vasos comunicantes.