Tubo de venturi / demostracion

[wanchufri]

Re: Tubo de venturi / demostracion

Hola!

Si te cuesta entenderlo desde el punto de vista conceptual, puedes quedarte con la demostración matemática, cuya validez es siempre indudable.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido newtoniano. Esas ecuaciones son válidas para describir cualquier movimiento de un fluido siempre que este sea newtoniano.

Una de las ecuaciones es la conocida como "ecuación de la cantidad de movimiento" que es la siguiente:

[FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]v)/[/FONT][FONT=arial]∂t + [/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]v) = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f + [/FONT][FONT=arial]∇·[/FONT][FONT=arial]τ'

donde:

v = velocidad local del fluido
[/FONT][FONT=arial]ρ = densidad local del fluido
[/FONT][FONT=arial]p = presion local del fluido
f = fuerzas másicas que actúan sobre el fluido
[/FONT][FONT=arial]τ' = tensor de esfuerzos viscosos

Esta ecuación, repito, es valida para el movimiento de cualquier fluido.
Ahora haremos algunas simplificaciones para llegar a la ecuación de Bernoulli.

En primer lugar, supondremos que el movimiento es a altos números de Reynolds (Re>>1), esto quiere decir que los términos viscosos (los del final de la ecuación) son despreciables frente a los términos convectivos (la segunda parte del primer miembro de la igualdad), con lo cual los despreciamos: [/FONT][FONT=arial]∇·[/FONT][FONT=arial]τ' -> 0

[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]v)/[/FONT][FONT=arial]∂t + [/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]v) = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f [/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
En segundo lugar, supondremos que el movimiento es estacionario, es decir, que el movimiento del fluido no varía con el tiempo en cada punto, con lo cual, cualquier derivada de una propiedad fluida respecto al tiempo se hace nula, en particular el primer término de la ecuación (el "no estacionario") : [/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]v)/[/FONT][FONT=arial]∂t = 0

[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]v) = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f [/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
Ahora supondremos que se trata de un fluido incompresible. Esta simplificación supone que la ecuación ya no es válida para el movimiento de un gas, pero en primera aproximación es perfectamente válida para un líquido, esto quiere decir que la densidad del líquido es constante, y por tanto podemos sacarla de las derivadas como una constante: [/FONT][FONT=arial]ρ = cte[/FONT][FONT=arial]

[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f

El término "[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v" es el gradiente de un campo vectorial, por tanto un tensor. Por las propiedades de los campos vectoriales y tensoriales, po[/FONT][FONT=arial]demos reescribir el término "[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v" como "[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]vx ([/FONT][FONT=arial]∇ x v)"

[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f
[/FONT][FONT=arial]
Ahora, si las fuerzas másicas que actúan derivan de un potencial, es decir f = - [/FONT][FONT=arial]∇U, podemos reescribir la ecuación como:
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∇p -[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇U[/FONT][FONT=arial]

En el caso de la fuerza gravitatoria, que es la que supondremos que actúa, el potencial es U = gz
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∇p -[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
A continuación, al ser esta una ecuación vectorial, la proyectaremos sobre una línea de corriente, que son las que tienen por vector tangente al vector velocidad. Multiplicando por el unitario u = v/|v|.

[/FONT][FONT=arial]u·ρ·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - u·[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -u·[/FONT][FONT=arial]∇p - u·[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial]

El segundo término de la ecuación se nos va, porque v x [/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]∇ x v) es un vector perpendicular a "v" (producto vectorial), y por tanto al multiplicarlo escalarmente por "u", que es paralelo a "v", se nos va ese término. Pero ahora la ecuación solo será válida para la evolución del fluido a lo largo de una línea de corriente. Además, los productos [/FONT][FONT=arial]u·[/FONT][FONT=arial]∇ representan la proyección de las derivadas espaciales a lo largo de las líneas de corriente, por tanto [/FONT][FONT=arial]u·[/FONT][FONT=arial]∇ = [/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L, siendo "L" una coordenada a lo largo de las líneas de corriente[/FONT][FONT=arial]:

[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]p)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial]

Como la densidad es constante, podemos meterla dentro de las derivadas:

[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]p)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] - [/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L
[/FONT][FONT=arial]
Ahora pasamos todo al primer término y agrupamos las derivadas en una, ya que son respecto a la misma variable:

[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] + [/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]p)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] + [/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L = 0

[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2 + [/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L = 0

Esta expresión matemática quiere decir que lo que hay dentro de la derivada es constante a lo largo de una línea de corriente:

[/FONT][FONT=arial]½·[/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]² + [/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial] = Constante

En concreto, si lo particularizamos entre dos puntos "[/FONT][FONT=arial]₁" y "[/FONT][FONT=arial]₂" de la línea de corriente, nos queda:
[/FONT][FONT=arial]
p[/FONT][FONT=arial]₁ + [/FONT][FONT=arial]½·[/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]₁[/FONT][FONT=arial]² + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial]₁ = [/FONT][FONT=arial]p[/FONT][FONT=arial]₂[/FONT][FONT=arial] + [/FONT][FONT=arial]½·[/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]₂[/FONT][FONT=arial]² + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial]₂[/FONT][FONT=arial]
[/FONT]

[arivasm]

Re: Tubo de venturi / demostracion

Quizá a nuestro amigo Clarck Luis haya que señalarle que hay una diferencia entre el fluido que está en el tubo de Venturi y el que está en la tubería: mientras que el segundo está en movimiento, el primero está en reposo, y por eso en el fondo del tubo de Venturi, donde la presión de es igual que la que tiene el fluido en movimiento, se cumple, como bien ha dicho Óscar, que $p=p_{atm}+\rho g h$.

Sobre la direccionalidad de la presión, no hay tal cosa. Quizá la mejor manera de verlo es comprender que se trata de la densidad de la energía de las fuerzas que el entorno ejercen sobre un elemento de fluido (es decir, el cociente entre el trabajo que éstas realizarían en una deformación virtual del elemento y el volumen de éste).

Por último, con respecto a la segunda pregunta, por supuesto que no es lo mismo que el fluido esté en reposo que esté en movimiento. Sí es verdad que si está en reposo la presión será la misma en A que en B. Si hay movimiento ya no será así. Por cierto, la causa estará en la diferente velocidad del fluido en A que en B. Y también añadiré que para la medida de la presión, con el fluido en movimiento, no se debe tomar la altura que has dibujado, sino la de la columna que sobresale de la tubería.

[Clarck Luis]

Re: Tubo de venturi / demostracion

Si creo que si Oscar, entonces la presión en cualquier punto de un liquido incluso en el movimiento la puedo calcular solo sumando las presiones que soporta desde arriba del punto? por que yo entendía de que existe una presión en las partes horizontal también o al menos eso he apreciado cuando leo libros donde me señalan la ecuación de Bernoulli y ahí aparece una presión ejercida en las partes horizontales. Otra cosa Oscar, y la presión que se ejerce por el peso de la columna de agua no es la misma para los dos puntos? esa presión no es independiente de la forma del recipiente, simplemente no depende de la profundidad del punto?


Mi segunda pregunta me hace pensar en esto, la presión cuando el liquido del dibujo esta en reposo en ese recipiente cerrado no es la misma para los dos puntos (A y B) ? porque cuando se mueve solo se toma la columna que esta precisamente arriba de esos puntos? Espero haberme dejado entender, gracias de antemano

[oscarmuinhos]

Re: Tubo de venturi / demostracion

por que se puede medir así, con independencia del movimiento del liquido? pues porque la presión en un punto no es otra cosa que la fuerza que soporta por unidad de superficie. Y está claro que el punto "está soportando" el peso de la atmósfera (presión atmosférica) y el peso de la columna de agua (presión hidrostàtica).

te he aclarado algo?

[Clarck Luis]

Re: Tubo de venturi / demostracion

Hola Oscar, hmmm en lo que me explicas no me queda claro la primera parte. ¿Porque la diferencia de presiones se puede calcular así?, lo que entiendo en las ecuaciones que has puesto es que la presión en un punto es: la presión atmosférica mas la presión debida al peso del liquido que hay encima del punto (claro si es que la "h_A" o "h_B", que has tomado son las alturas que van desde la superficie de agua hasta el punto tomado), ¿esto es indiferente de si el liquido se mueve?, por que como lo has hallado es muy parecido de como se calcula la diferencia de presiones en hidrostatica.
Y si la diferencia de presiones se calcula solo con la diferencia de presiones debido al peso de liquido que soporta cada punto ($\rho$.g.(h_A-h_B)) yo veo que ambos soportan la misma presión debido al peso del liquido que esta encima, tengo entendido que esa presión es indiferente de la forma del recipiente.

Las presiones en el fondo debido al peso del liquido que esta encima es la misma sin importar la forma del recipiente.

Nose si estoy interpretando bien tus ecuaciones de la primera parte, ojala me puedas aclarar estos puntos.

[oscarmuinhos]

Re: Tubo de venturi / demostracion

Una cosa es medir la diferencia de presiones entre los puntos A y B y otra cosa es explicar a que se debe esa diferencia de presiones:

Medida de la diferencia de presiones:
${P}_{A }= {P}_{atm }+\rho \ g {h}_{A}$

${P}_{B }= {P}_{atm }+\rho \ g {h}_{B}$

${P}_{A }\ -{P}_{B}\ = \rho\ g\ ({h}_{A }-{h}_{B }\ )$

A que se debe esta diferencia de presiones?
Aplicas el teorema de Bernouilli entre los puntos A y B:
$\dst {P}_{A } + \rho \ g {h}_{A} +\frac{1}{2 } \rho \ v_A^2\ ={P}_{B } + \rho \ g {h}_{B} +\frac{1}{2 } \rho \ v_B^2$

Cancelas términos iguales
$\dst {P}_{A } + \frac{1}{2 } \rho \ v_A^2\ ={P}_{B } + \frac{1}{2 } \rho \ v_B^2$

$\dst {P}_{A } -{P}_{B }= \frac{1}{2 } \rho \ ( v_B^2\ - v_A^2 )$

Aplicas el principio de la continuidad a las secciones $\ S_A$ y $\ S_B$

y tienes la explicación de esta diferencia de presiones

[Clarck Luis]

Hola muchachos. Tengo una duda que he tratado de quitármela de mil maneras, ojala me pueden ayudar.
Es sobre el tubo de venturi, el problema que tengo es que aveces confundo mucho la hidrostatica con la hidrodinamica, y eso me trae problemas cuando me topo con problemas donde se aparecen las dos. Un caso típico es el tubo de venturi, el problema con este es que me dan la formula de: P_A- P_B= $\rho$ . g . h , pero en los libros me la dan sin previa demostración nose de donde surge. He tratado de deducirla con la ecuación de Bernoulli y la de continuidad y no he podido. Lo que hice después es planteármelo con algo de teoría para explicarme porque sucede lo de la ecuación, lo que pensé es que el punto A y el punto B tendría la misma presión si el fluido no se moviera, al moverse genera esa diferencia de presiones debido a sus velocidades. Entonces pensé que las diferencias en las columnas de agua que soporta cada punto seria la diferencia de presiones de los puntos, que de esta deducción provenía la fórmula. Pero después me bloqueo, pensando que ambos soportan la misma cantidad de agua encima ya que, según la hidrostática no importa la forma del recipiente ambos al estar a la misma altura soportan la misma presión debido al peso del liquido, entonces ¿cual es la razón de que se use la altura para hallar la diferencia de presiones, como se dedujo esta formula? Gracias de antemano .