1r ciclo Frasco de Mariotte (tanque con agujero)

[Pepealej]

Hola. Tengo una duda sobre un problema típido en mecánica de fluídos; el Frasco de Mariotte. Consiste en un tanque abierto en su parte superior que se le practica un agujero a una altura h desde la superficie del líquido. La cosa es averiguar la velocidad del fluido que sale por el agujero.

Usando la ecuación de Bernouilli obtengo:

$p_1+\rho gh=p_2+\frac{1}{2}\rho v^2$

La presión en 1 es la presión atmosférica, y la presión en 2 es la presión atmosférica + la presión del líquido sobre el agujero (por la parte interior) y - la presión atmosférica por la parte exterior. Por tanto me queda:

$p_{at}+\rho gh=p_{at}+\rho g h -p_{at} +\frac{1}{2}\rho v^2$

Pero el resultado debería salir $v=\sqrt{2gh}$. Sé que el error está en la presión en el agujero pero, ¿cuál es?

Gracias

[arivasm]

Re: Frasco de Mariotte (tanque con agujero)

Aplicas mal la ecuación de Bernoulli al punto de salida: no es la resta que indicas, sino la presión que soporta el fluido en ese punto, que es igual a la presión atmosférica. Es decir, deberá ser $p_{at}+\rho gh=p_{at}+\frac{1}{2}\rho v^2$

[Pepealej]

Re: Frasco de Mariotte (tanque con agujero)

Vale pero, ¿por qué en el agujero no se considera tanto la presión atmosférica que hace que el tanque se vacíe, como la presión atmosférica que empuja desde fuera del agujero? Quedando así:

$p_{at}+\rho gh=p_{at}-p_{at}+\frac{1}{2}\rho v^2=\frac{1}{2}\rho v^2$

[arivasm]

Re: Frasco de Mariotte (tanque con agujero)

No hay una presión que empuja desde dentro y otra desde fuera. Eso podríamos decirlo en referencia a fuerzas, pero no a presiones (recuerda que la presión es un concepto escalar, carente de dirección). Para que veas que lo que afirmas no es correcto ponle un tapón al orificio del ejercicio. ¿Qué presión habrá allí?. Desde 4º de ESO sabemos que la respuesta deberá ser $p_{at}+\rho g h$. Pero tu afirmación equivaldría a que hay que restarle a $p_{at}+\rho g h$ la "presión que ejerce el tapón" (que también debería ser ese valor! -piensa en la ley de acción y reacción: el fluido ejerce esa presión sobre el tapón, luego el tapón ejerce esa misma presión sobre el fluido-).

La idea es que la presión que aparece en la ley de Bernoulli es la densidad de la energía de las fuerzas no gravitacionales* que se ejercen sobre un elemento de fluido, de manera que en realidad la ley no es otra cosa que la conservación de la energía pero expresada a través de su densidad. Para un elemento situado dentro del fluido la presión es la misma que la que tengan sus vecinos inmediatos (salvo términos diferenciales), lo que no facilita demasiado su visualización. Por eso, la mejor manera de visualizar esa presión es considerarla a través de las fuerza por unidad de superficie que ejerce el exterior del fluido (paredes, o aire, o lo que corresponda) sobre los elementos que están en contacto dicho exterior (o por la ley de acción y reacción a través de la fuerza por unidad de superficie que ejerce el fluido sobre el exterior).

(*) La razón de omitir éstas es porque ya están incluidas a través del término $\rho g h$

En definitiva, del mismo modo que cuando se trata de un fluido circulando por una tubería piensas en la presión que ejerce la tubería, aquí también tienes un chorro saliendo del tanque que equivale a una tubería que ejerza (y esto valdrá para todos los puntos del chorro) una presión sobre el líquido igual a la atmosférica. Si ahora lo llevas justo al orificio te resultará fácil entender que la presión no salta repentinamente a ningún valor diferente de ése (la única manera, y piensa en la ley de Bernoulli para puntos que estén a la misma h) es que sea diferente la velocidad del fluido. Conclusión: justo en el orificio la presión es igual a la atmosférica.

[gdonoso94]

Re: Frasco de Mariotte (tanque con agujero)

Y por qué no se considera componente cinética en el fluido de dentro del tanque?

[arivasm]

Re: Frasco de Mariotte (tanque con agujero)

Dentro del tanque por supuesto que se deberán considerar componentes cinéticas. El problema es que mientras que en la superficie es muy sencilla (todos los puntos descienden con la misma velocidad), a medida que descendemos por el fluido la componente cinética se irá complicando (por cómo se complica la velocidad), dependiendo de cómo sean las corrientes en el interior del tanque. Sin ir más lejos, en el nivel del orificio será muy fácil conocer la velocidad en este último, pero no en los demás puntos. Por supuesto, siempre es posible establecer *modelos aproximados* que prescindan de la complejidad de las corrientes, del estilo de suponer que en cada nivel (salvo los que se correspondan con la proximidad del nivel del orificio) el movimiento es simplemente descendente y con la misma velocidad que en la superficie (con lo que la presión sería la atmosférica más el término gravitatorio).