Otras carreras La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

[SebaPilotX]

¡Hola a todos! Soy nuevo en el foro, y escribo porque tengo una duda básica, pero que hasta ahora no he logrado resolver.

Bien, como sabemos la fórmula de presión es $\displaystyle P= \frac{F}{A}$

Por lo tanto, para un fluido en reposo:

$\displaystyle P= \frac{mg}{A} <br /> \displaystyle = \frac {\rho Vg}{A} = {\rho gh}$

Sin embargo, la última simplificación $\displaystyle \frac{V}{A} <br /> \displaystyle ={h}$ solo sería válida si el recipiente que contiene el fluido posee un área transversal continua, como un cilindro o un paralelepípedo. Es decir, según veo, la expresión $\displaystyle{\rho gh}$ no sería siempre válida, sin embargo he leído en varios lugares que independiente de la forma del recipiente, la presión solamente depende de la altura y la densidad del fluido.
Por lo tanto, mi consulta es, ¿es esto cierto?¿cuál es mi error?

Muchas gracias de antemano

PD: Para fines prácticos, estoy ignorando la presión atmosférica.

[GastonV]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Es correcto, si miras la ecuación que define la presión, verás que es

$\dfrac{\dd P}{\dd z} = -\rho g$

Si quieres ver de donde viene esto, considera una porción diferencial del fluido, en el cuál actúan tres fuerzas, el peso y dos presiones, $p(z)$ y $p(z+dz)$, entonces viéndolo en equilibro, la suma de fuerzas es cero. Luego de eso, resta hacer la parte analítica, de aquí obtienes la ecuación diferencial de arriba, por lo que verás que no importa la forma del recipiente.

NOTA: Perdón si lo que dije está medio mal, si no lo entiendes avísame y te hago un dibujo junto a su deducción.

[SebaPilotX]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Muchas gracias, aunque creo que no entendí perfectamente, si puedes hacer el dibujo sería genial

[lacurie]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Hola,

Cualquier cantidad de agua que tengas en realidad la puedes rebanar (imaginariamente) de la forma que cada rebanada sea una placa de agua, entonces verás que la relación de volumen igual a área por altura se sigue cumpliendo para cada una de esas placas.

El error está en tomar la porción completa, pues en dicho caso, ciertamente no se cumple la relación.

saludos.

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En cuanto a lo que dice GastonV es algo así como que se puede aplicar la segunda ley de Newton a una placa, que en este caso se puede tomar como:

fuerza= (masa)*(aceleración)

Y generalizar el resultado, claro que para entender esto se debería conocer un poco acerca de diferenciales y derivadas.

[SebaPilotX]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Me había planteado una vez esa solución, pero me confunde al ver el caso que puse en la imagen adjunta.

Digamos que el peso desde el punto A hacia arriba es P. Ahora, la suma de las áreas infinitesimales o rebanadas es Q.
Ahora, en el recipiente completo el peso total sería 2P y la suma de áreas 2Q, por lo tanto las presiones en A y B serían iguales D:
Sé que eso no es correcto, pero aún no puedo comprender muy bien mi falla

- - - Actualizado - - -

Bueno, si no se entiende bien mi duda, mejor ejemplificaré con esta imagen:

Ambos recipientes contienen agua. Las áreas transversales en el punto A son iguales para ambos recipientes.
Sin embargo, el peso del agua sostenido en A sería distinto en cada recipiente, y como $\displaystyle P= \frac{F}{A}$ cualquiera podría pensar que las presiones no son iguales.

[GastonV]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Eso es la paradoja de la Hidrostática. Es difícil de comprender a primera vista pero luego, terminas entendiéndolo.

Bien, primero, mi dibujo es totalmente horrible, espero que lo entiendas, en caso negativo, lo hago a mano y lo escaneo y te lo subo vale?.
Primero, mira este dibujo:
Nota: en vez de $\dd z$ es $\Delta z$, perdón me confundí.


Bien, ahora imagina que eso que está dibujado ahí es una porción infinitecimal de un fluido que está contenido en un recipiente cualquiera, la forma que vos quieras y demás. Esa porción tiene alto $\Delta z$ y un área $\Delta A$. Sobre el mismo actúan tres fuerzas, el peso y las dos presiones que están indicadas ahí.

Veamos, el peso es

$P = -mg = - \rho Vg = - \rho \Delta A \Delta z g$

y por otro lado sabes que $p = F/A$ entonces tienes que las fuerzas ejercidas por las presiones son

$\text{F}_\text{1} = p(z) \Delta A$

y $\text{F}_\text{2} = p(z+ \Delta z) \Delta A$.

Ahora, suponiendo el equilibrio y usando Newton tenemos que $- \rho \Delta A \Delta z g - p(z+ \Delta z) \Delta A + p(z) \Delta A = 0$, claramente se puede sacar factor común el área y la eliminamos, entonces tenemos que

$- \rho \Delta z g = p(z+ \Delta z) -p(z)$

y esto no es más que la definición de derivada cuando hacemos tender $\Delta z$ a cero, entonces vemos que

$- \rho g = \frac{p(z+ \Delta z) -p(z)}{ \Delta z}$, tomando $\lim_{x \to 0}$ de ambos lados de la igualdad, obtenemos que

$\frac{\dd p}{\dd z } = - \rho g$.

Con esto, espero que me entiendas. Esa es la demostración de que la presión no depende de la forma del recipiente y que solo depende de la altura, es decir, si tienes dos recipientes, ambos de altura $h$ llenos hasta el tope, y uno tiene el doble de fluido que el otro, en cualquier punto de la base la presión es la misma, sin importar la cantidad ni forma de los recipientes. Si deseas busca en google "paradoja de la hidrostática", tal vez entiendas un poco mejor.

Repito, si sigues sin entender, pregunta tranquilo y sin miedo que a algo vamos a llegar para que lo entiendas.

Saludos.

[surrealfrog]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Pero ojo que la ecuación solo es válida en hidrostática, es decir cuando el fluido está en reposo

[GastonV]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Exactamente, como dice @surrealfrog, esto vale sólo en hidrostática, para hidrodinámica tienes que usar la ecuación de Bernoulli:

$\frac{1}{ 2} \rho {v}^{2 } + \rho g z + \text{p}_\text{0} = constante$

no viene al tema, pero te la adjunto por si te interesa.

[SebaPilotX]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

¡Muchas gracias! La verdad, está todo muy claro; ahora sí entiendo bien la derivación matemática del tema y se entiende claramente que la derivada de la presión no depende del tamaño del área puesto que se cancela.

Lo único es que de repente pareciera complejo pasar aquello a lo que se ve a simple vista, puesto que con un ojo "poco físico" por decirlo de alguna forma, se puede caer en mi error.
Ahora, también estuve averiguando en otras fuentes y quizás, para términos prácticos ¿se podría afirmar que la fuerza ejercida en el área transversal "P" es solo el peso de la columna "B"? Es decir, ¿ejercen su peso las partes A y C sobre la superficie P? (Lo pregunto puesto que si así fuera, podría entender más aún el concepto; pero si no es así, bueno, quizás aún quede alguna cosa por comprender jaja)

Nuevamente muchas gracias @GastonV por la respuesta anterior

[GastonV]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Exactamente, solo depende de la columna B, A y C no contribuyen en nada a la presión que siente P.

[SebaPilotX]

Re: La presión en un fluido, ¿es siempre igual a pgh?

Muchas gracias! Estuve buscando lo de la paradoja de la hidrostática y encontré está página http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fl...a/paradoja.htm donde explican muy bien que el error está en pensar que la fuerza que el fluido ejerce sobre la base corresponde al peso total del fluido, cuando en realidad no es así, si no que es una componente vectorial de éste, pudiendo ser entonces menor o incluso mayor.

Así que todo ha quedado completamente aclarado