1r ciclo Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

[Clarck Luis]

Hola a todos, resolviendo problemas me he topado con uno que me ha llamado la atención, me ha descuadrado con respecto a lo que sabia acerca del principio de Bernoulli. Al parecer no lo tengo claro del todo xD. Esta es mi duda:


En la figura, ¿se puede usar Bernoulli en los puntos A y B?, en los puntos A y C? y en los puntos B y C? Al parecer si es posible según el libro que tengo, claro que este no detalla el porque, simplemente lo aplica.
Esto me parece demasiado raro, ya que ese principio se puede demostrar por conservación de energía y el que se pueda usar en cualquiera de los pares de puntos que he señalado me bloquea , que acaso una de las ramas no se lleva energía del sistema? que acaso las masas de los puntos tomados no son distintas?
He consultado con 4 profesores de fisica y nadie me ha dado una respuesta clara de lo que sucede, he intentado resolverlo con ecuaciones pero me resulta imposible, creo que mas parece un tema de teoría.
Según tengo entendido el principio se puede usar para un flujo, pero veo que el flujo se divide en dos , nose si estoy malinterpretando el principio. Quisiera que alguien me explique que es lo que sucede, y si es posible, que puedan mencionarme el principio de Bernoulli en su forma mas general para evitarme dudas futuras.

PD: Estoy considerando un fluido ideal. Quiero resaltar que este problema me parece muy parecido, en el que se usa Bernoulli sobre un punto arriba del ala del avion y un punto debajo del ala.

Gracias de antemano a los que quieran participar, saludos.

[Breogan]

Re: Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

Hola:

Nunca plantee Bernoulli en un caso parecido a este, así que voy a tratar de razonar algo con vos:

Bernoulli es una forma de escribir el principio de la conservación de la energía para un fluido que es incompresible, con viscosidad nula, en flujo laminar, y a caudal constante. Dicha ecuación se refiere específicamente a la conservación de la energía por unidad de volumen del fluido.

$\dst \frac 1 2\ \rho v^2\ +\ P\ +\ \rho g z\ =\ cte.$

La energía total que fluye por unidad de tiempo justo antes de la bifurcación (igual a la de el punto A) debe ser igual a la suma de las que pasan por ambas ramas justo después de la bifurcación (iguales a las de los puntos B y C) por conservación de la energía.

$\dst ( \frac 1 2\ \rho v_A^2\ +\ P_A\ +\ \rho g z_A)\ S_A\ v_A =$
$\dst =\ ( \frac 1 2\ \rho v_B^2\ +\ P_B\ +\ \rho g z_B)\ S_B\ v_B\ +\ ( \frac 1 2\ \rho v_C^2\ +\ P_C\ +\ \rho g z_C)\ S_C\ v_C$

y a esta ecuación hay que sumarle la de la conservación de la masa: $S_A\ v_A\ =\ S_B\ v_B\ +\ S_C\ v_C$

Hasta aquí puedo llegar, no se si lo que puse esta bien, pero a mi me parece que es así.

Suerte

[Clarck Luis]

Re: Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

Hola Breogan gracias por la respuesta, cuando quise demostrarlo por ecuaciones me salio lo mismo, pero sigo sin poder demostrar que Bernoulli se pueda usar en los puntos que señale . Nose que mas puedo hacer, leo una y otra vez la teoria, y no encuentro algún detalle que se me haya escapado para poder explicar lo que ocurre. Alguna idea??

[wanchufri]

Re: Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

Hola Clarck Luis!

La respuesta es sí. Conoces las ecuaciones de Navier-Stokes? Son las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido. Una de ellas es la ecuación de la cantidad de movimiento, con la cual voy a llegar a la expresión de Bernoulli, haciendo las consideraciones apropiadas, para convencerte de que puedes usarla.

esta es la ecuación de la cantidad de movimiento (se puede deducir aplicando la "segunda ley de newton" en forma integral a un volumen fluido)

[FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]v/[/FONT][FONT=arial]∂t + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f + [/FONT][FONT=arial]∇·[/FONT][FONT=arial]τ'

donde:

v = velocidad local del fluido
[/FONT][FONT=arial]ρ = densidad local del fluido
[/FONT][FONT=arial]p = presion local del fluido
f = fuerzas másicas que actúan sobre el fluido
[/FONT][FONT=arial]τ' = tensor de esfuerzos viscosos

Esta ecuación, repito, es valida para el movimiento de cualquier fluido.
Ahora haremos algunas simplificaciones para llegar a la ecuación de Bernoulli.

En primer lugar, supondremos que el movimiento es a altos números de Reynolds (Re>>1), esto quiere decir que los términos viscosos (los del final de la ecuación) son despreciables frente a los términos convectivos (la segunda parte del primer miembro de la igualdad), con lo cual los despreciamos: [/FONT][FONT=arial]∇·[/FONT][FONT=arial]τ' -> 0

[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]v/[/FONT][FONT=arial]∂t + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]En segundo lugar, supondremos que el movimiento es estacionario, es decir, que el movimiento del fluido no varía con el tiempo en cada punto, con lo cual, cualquier derivada de una propiedad fluida respecto al tiempo se hace nula, en particular el primer término de la ecuación (el "no estacionario") : [/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]v/[/FONT][FONT=arial]∂t = 0
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f

El término "[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v" es el gradiente de un campo vectorial, por tanto un tensor. Por las propiedades de los campos vectoriales y tensoriales, po[/FONT][FONT=arial]demos reescribir el término "[/FONT][FONT=arial]v·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]v" como "[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]vx ([/FONT][FONT=arial]∇ x v)"

[/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∇p + [/FONT][FONT=arial]ρ·f
[/FONT][FONT=arial]
Ahora, si las fuerzas másicas que actúan derivan de un potencial, es decir f = - [/FONT][FONT=arial]∇U, podemos reescribir la ecuación como:
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∇p -[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇U[/FONT][FONT=arial]

En el caso de la fuerza gravitatoria, que es la que supondremos que actúa, el potencial es U = gz
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∇p -[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
A continuación, al ser esta una ecuación vectorial, la proyectaremos sobre una línea de corriente, que son las que tienen por vector tangente al vector velocidad. Multiplicando por el unitario u = v/|v|.

[/FONT][FONT=arial]u·ρ·[/FONT][FONT=arial]∇([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2) - u·[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]vx([/FONT][FONT=arial]∇ x v)[/FONT][FONT=arial] = -u·[/FONT][FONT=arial]∇p - u·[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∇[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial]

El segundo término de la ecuación se nos va, porque v x [/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]∇ x v) es un vector perpendicular a "v" (producto vectorial), y por tanto al multiplicarlo escalarmente por "u", que es paralelo a "v", se nos va ese término. Pero ahora la ecuación solo será válida para la evolución del fluido a lo largo de una línea de corriente. Además, los productos [/FONT][FONT=arial]u·[/FONT][FONT=arial]∇ representan la proyección de las derivadas espaciales a lo largo de las líneas de corriente, por tanto [/FONT][FONT=arial]u·[/FONT][FONT=arial]∇ = [/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L, siendo "L" una coordenada a lo largo de las líneas de corriente[/FONT][FONT=arial]:

[/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]p)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] - [/FONT][FONT=arial]ρ·[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial]

[/FONT][FONT=arial]Ahora supondremos que se trata de un fluido incompresible. Esta simplificación supone que la ecuación ya no es válida para el movimiento de un gas, pero en primera aproximación es perfectamente válida para un líquido, esto quiere decir que la densidad del líquido es constante, y por tanto podemos meterla en las derivadas como una constante: [/FONT][FONT=arial]ρ = cte
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] = -[/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]p)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] - [/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L

[/FONT][FONT=arial]Ahora pasamos todo al primer término y agrupamos las derivadas en una, ya que son respecto a la misma variable:

[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] + [/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]p)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L[/FONT][FONT=arial] + [/FONT][FONT=arial]∂([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L = 0

[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]²/2 + [/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz)[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂L = 0

Esta expresión matemática quiere decir que lo que hay dentro de la derivada es constante a lo largo de una línea de corriente:

[/FONT][FONT=arial]½·[/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]v[/FONT][FONT=arial]² + [/FONT][FONT=arial]p + [/FONT][FONT=arial]ρ[/FONT][FONT=arial]gz[/FONT][FONT=arial] = Constante

Conclusión! Podemos aplicarlo siempre que:

- Efectos viscosos despreciables (siempre existen, pero a altos números de reynolds pueden despreciarse)
- movimiento estacionario
- líquido
- fuerzas másicas que deriven de un potencial (en el caso de la fuerza gravitatoria, siempre ocurre)
- solo válido aplicarlo a dos puntos que están en la misma línea de corriente (pero como la viscosidad es despreciable, el flujo es casi uniforme con lo cual no se comete apenas error al considerarlo entre dos secciones independientemente de la línea de corriente)
[/FONT]

[Breogan]

Re: Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

Hola:

Solo se me ocurre que haya alguna otra condición impuesta al problema que esta dicha tácitamente.

Si aplicamos como valido, como planteas en tu post, Bernoulli por separado entre la rama principal y las bifurcaciones tenemos:

$\dst \frac 1 2\ \rho v_A^2\ +\ P_A\ +\ \rho g z_A\ =\ \frac 1 2\ \rho v_B^2\ +\ P_B\ +\ \rho g z_B$

$\dst \frac 1 2\ \rho v_A^2\ +\ P_A\ +\ \rho g z_A\ =\ \frac 1 2\ \rho v_C^2\ +\ P_C\ +\ \rho g z_C$

Multiplicando ambas por $S_B v_B\$ y $S_C v_C\$ respectivamente y después las sumamos:

$\dst (\frac 1 2\ \rho v_A^2\ +\ P_A\ +\ \rho g z_A)\ S_B\ v_B\ +\ (\frac 1 2\ \rho v_A^2\ +\ P_A\ +\ \rho g z_A)\ S_C\ v_C\ =$

$\dst =\ ( \frac 1 2\ \rho v_B^2\ +\ P_B\ +\ \rho g z_B)\ S_B\ v_B\ +\ ( \frac 1 2\ \rho v_C^2\ +\ P_C\ +\ \rho g z_C)\ S_C\ v_C$

y aplicando la ecuación de continuidad $S_A v_A=S_B v_B+S_C v_C$ nos queda la ecuacion encontrada para el balance de energia de mi post anterior.

Pareciera por lo anterior que lo dicho en tu 1º post es valido

Suerte

[Clarck Luis]

Re: Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

Gracias muchachos, ahora lo tengo bastante claro. Wanchufri entonces para problemas donde se cumplen las condiciones ideales, puedo aplicar Bernoulli en cualquier punto del fluido circundante sin importar si este se habre en varias ramas, mientras sea el mismo fluido? segun lo que planteas es cierto, solo quiero tenerlo claro xD. Gracias de antemano.

[wanchufri]

Re: Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

Sí, si puedes! y debes tener en cuenta la ecuación de la continuidad, como ha dicho Breogan, que para el caso de un líquido en movimiento estacionario se reduce a que el caudal en A debe ser igual a la suma de los caudales en B y C (estos dos últimos en general no son iguales entre sí).

[Clarck Luis]

Re: Se puede aplicar Bernoulli para este caso?

Gracias TOTALES!.