1r ciclo Palmera, esfuerzos promedios

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Estoy Resolviendo el Y C Fung "first Course in Continuum Mechanics" y estoy atorado en el ejercicio 4.14 parte d).

El problema dice:

Tenemos una palmera de troco L, que soporta la copa de masa M. Suponiendo que en la superficie de contacto horizontal coincide con el extremo superior del trnco y la base de la copa, y que el peso de la copa se stá distribuyendo uniformemente. ¿Cómo debe cambiar el área transversal del tronco para que el esfuerzo promedio en cualquier sección horizontal del tronco sea constante?


Si alguién pudiera ayudarme, se lo agradeceré.

Pense en hacerlo por equilibrio de fuerzas, pero al calcular el volumen del tronco no pude concluir nada...

[arivasm]

Re: Palmera, esfuerzos promedios

Yo lo enfocaría de esta manera: tenemos una columna de sección transversal S(x) (x representa la altura) que soporta un peso igual a Mg más el de la masa de columna que está por encima de ella, que es $\dst g\int_x^L\rho S \dd x$, siendo $\rho$ la densidad del material que compone la columna (el tronco) y que supondremos uniforme. De esa manera, la presión que se soporta en cada punto será $\dst p(x)=\frac{1}{S(x)}\left(Mg+ \rho g\int_x^L S \dd x \right)$. Como la presión debe ser independiente de la altura, tenemos la ecuación integral [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Diferenciando se transforma en una ecuación diferencial fácilmente resoluble (la solución es una exponencial), cuya constante de integración será la que determina la condición $S(L)=Mg/p$.

La solución que obtengo es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

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Re: Palmera, esfuerzos promedios

Por Supuesto arivasm! Tienes mucha razon! ASí se puede resolver el probelma, muchas gracias!

[natanael]

Re: Palmera, esfuerzos promedios

No sabía nada del tema, pero arivasm explica tan bien !, que creo haberle entendido completamente hasta cierto punto. Sin embargo me surgen ciertas dudas :

1) La figura que pone el libro es esta:



en este caso la integral iría desde $x=0$ a $x$?

2) Tensión o esfuerzo es lo mismo que presión, o los tres son conceptos totalmente distintos?

3) Cómo haces para derivar la integral (me imagino que con respecto a $x$) teniendo los límites de integración? (es decir, es una integral definida)

4) Cuando escribes $p(x)$ supones que es variable, pero cuando la escribes como $p$ la consideras constante?

Sé que son muchas preguntas , son cosas que nunca había visto!

[arivasm]

Re: Palmera, esfuerzos promedios

1) Tienes razón que deberían ser como indicas si las x se toman como en la figura. Yo no sabía de esa figura y tomé x=0 en el suelo y x=L en lo alto.

2) Esfuerzo y presión son conceptos semejantes (si no me equivoco, el concepto de esfuerzo tiene una connotación direccional que no tiene el de presión). Tensión es un término bastante ambiguo, pues se suele usar como sinónimo de la integral de los esfuerzos a lo largo de una sección.

Sin embargo, en este ejercicio puesto que se refieren a "esfuerzo promedio en cualquier sección horizontal" está claro que se trata de considerar que las presiones (si lo prefieres, esfuerzos verticales) sean uniformes.

3) La idea de la derivada de una integral en la que uno de sus límites es una constante y el otro es la propia variable respecto de la cual se integra es sencilla: se trata de hacer uso de la regla de Barrow y la relación existente entre integrando y función primitiva.

Por ejemplo supongamos que la variable aparece, como en lo que yo escribí, en el límite inferior. Con la regla de Barrow tienes que

$$Q(x)=\int_x^a f(x)\dd x=F(a)-F(x)$$

Teniendo en cuenta que $F(a)$ será cierto valor, y entonces una cantidad constante

$$\dst\frac{\dd Q(x)}{\dd x}=\frac{\dd}{\dd x}\int_x^a f(x)\dd x=\frac{\dd}{\dd x}[F(a)-F(x)]=-\frac{\dd F(x)}{\dd x}=-f(x)$$

4) La considero constante porque el enunciado así lo pide. Te en cuenta que por p estoy representando el "esfuerzo promedio en (cualquier) sección horizontal"