1r ciclo Duda presión y teorema de Gauss

[kuvala]

Hola Buenas

Tengo esta expresión que es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una superficie:

$${\iint}_{A }p\vec{n}d\sigma={\iiint}_{V }\vec{\nabla}pdV$$

pero no entiendo por qué es así. En unos apuntes que tengo, para justificar eso dice lo siguiente:

"Si $\Omega$ es un volumen limitado por una superficie cerrada $\sum$ de normal exterior $\vec{n}$ que limita un volumen y p(x) un campo escalar, se tiene:

$${\iint}_{\sum}p\vec{n}d\sigma={\iiint}_{\Omega }\vec{\nabla}(p\vec{b})dV$$

En efecto, si $\vec{b}$ es cualquier vector constante y se aplica el teorema de Gauss al vector p(x)$\vec{b}$

$${\iint}_{\sum} p\vec{b}\cdot\vec{n}d\sigma={\iiint}_{\Omega }\vec{\nabla}pdV$$

puesto que $\vec{b}$ es constante,

$$\vec{b}\cdot{\iint}_{\sum} p\cdot\vec{n}d\sigma=\vec{b}\cdot{\iiint}_{\Omega }\vec{\nabla}pdV$$

Si se elige $\vec{b}=\vec{{e}_{x }}$ en (3), se demuestra la igualdad de las componentes x de los dos miembros de (2). Igualmente se demuestra la igualdad de las otras dos componentes."


Esto es lo que dice la teoría, y mi duda me viene aquí:

Si el vector presión siempre se aplica en un fluido en la dirección normal a una superficie pero de sentido contrario, esto es $\vec{p}=-p\vec{n}$, entonces en este caso, el vector $\vec{b}$ que acompaña a p(x) sería $-\vec{n}$, por tanto $\vec{b}=-\vec{n}$. Pero en lo que dice la teoría, $\vec{b}$ tiene que ser constante, sin embargo, $\vec{n}$ varía para cada punto de la superficie. Luego, para este caso concreto, ¿no se puede llegar al resultado de la expresión (2), no?


Otra cosa:

Tengo que demostrar que la Fuerza de Presión Uniforme ${\vec{F}}_{PU }=\iint{P}_{a}(-\vec{n})dA=-{P}_{a }\iint\vec{n}dA=0$ para cualquier superficie cerrada y con presión ${P}_{a }$ uniforme, es nula.

Yo el razonamiento que he seguido ha sido este, aunque creo que está en gran parte relacionado con la duda que tengo arriba.

$$\iint(\vec{p}\cdot d\vec{A})\vec{n}=\iiint(\vec{\nabla}\cdot \vec{p})\vec{n}dV$$

con $\vec{p}=-p\vec{n}$

y como p=cte. para cada $\vec{n}$, tenemos que

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{p}=-p(\vec{\nabla}\cdot \vec{n})=-p(\frac{\partial {n}_{x }}{\partial x }+\frac{\partial {n}_{y }}{\partial y}+\frac{\partial {n}_{z }}{\partial z})=0$$

¿Es esto así?

Muchas gracias por todo, y perdón por el chorizo

Un Saludo

[ZYpp]

Re: Duda presión y teorema de Gauss

En realidad, deberías partir de:

$${\iint}_{A }-p \mathbb{I}\cdot \hat n \dd \sigma={\iiint}_{V }\nabla \cdot \left( -p\mathbb{I} \right)dV$$

Mirando ahora el integrando de la parte derecha:

$$\nabla \cdot \left( -p \mathbb{I} \right) = -\frac{\partial}{\partial x_j}p\left( x_i \right) \delta _{ij} = -\frac{\partial p\left( x_i \right)}{\partial x_i} = -\nabla p$$

Así pues, al final queda

$${\iint}_{A }-p \mathbb{I}\cdot \hat n \dd \sigma= -{\iiint}_V \nabla p dV$$

En cuanto a lo segundo, se deduce directamente de lo primero teniendo en cuenta que si la presión es constante, el gradiente de presión es nulo, consecuentemente la fuerza también.

[kuvala]

Re: Duda presión y teorema de Gauss

Muchas gracias por contestar, y perdón por el retraso jeje.

Hay una cosa que no entiendo. ¿Qué quiere decir este símbolo?

$\mathbb{I}$

Otra cosa. Si la fuerza de presión resultante por unidad de volumen la definimos así: $\vec{{f}_{ pres}}=-\nabla p$


Y usando el teorema de la divergencia:

${\iint}_{A }\vec{{f}_{ pres}}\cdot\vec{n}d\sigma=-{\iint}_{A }\vec{\nabla}p\cdot\vec{n}d\sigma=-{\iiint}_{V }\vec{\nabla}(\vec{\nabla}p)dV$
¿Se llegaría al mismo resultado?


Muchas gracias. Un Saludo

[ZYpp]

Re: Duda presión y teorema de Gauss

Hay una cosa que no entiendo. ¿Qué quiere decir este símbolo?

Es la matriz identidad. No se me ocurrió forma mejor de ponerla, si alguien conoce alguna manera mejor que avise, por favor.

Otra cosa. Si la fuerza de presión resultante por unidad de volumen la definimos así:

La presión es una fuerza de contacto. De hecho, la fuerza de contacto asociada a la presión es sencillamente la presión. Sin gradientes ni nada. Lo que tú dices no tiene sentido físico real, ya que además estás partiendo de una integral de superficie de dicha fuerza. Las integrales de superficie sólo son para fuerzas de contacto. En tal caso deberías escribir directamente $\iiint _V \nabla p dV$, con lo que estamos en las mismas.

Recalcar también que esto es una mala aplicación del teorema de Gauss:

$-{\iint}_{A }\vec{\nabla}p\cdot\vec{n}d\sigma=-{\iiint}_{V }\vec{\nabla}(\vec{\nabla}p)dV$.

Debería ser

$-{\iint}_{A }\vec{\nabla}p\cdot\vec{n}d\sigma=-{\iiint}_{V }\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}p)dV$.

Por último, decir que no me gusta especialmente el uso de la flecha encima del operador Nabla. Es un operador, no un vector. Pero esto son sólo mis gustos.

Saludos.

[kuvala]

Re: Duda presión y teorema de Gauss

Es la matriz identidad. No se me ocurrió forma mejor de ponerla, si alguien conoce alguna manera mejor que avise, por favor.

Vale, gracias. Echando un vistazo a algún otro título en la biblioteca he visto que usan la misma notación que tú.

La presión es una fuerza de contacto. De hecho, la fuerza de contacto asociada a la presión es sencillamente la presión. Sin gradientes ni nada. Lo que tú dices no tiene sentido físico real, ya que además estás partiendo de una integral de superficie de dicha fuerza. Las integrales de superficie sólo son para fuerzas de contacto. En tal caso deberías escribir directamente $\iiint _V \nabla p dV$, con lo que estamos en las mismas.

Verás, yo es que lo he puesto, no porque me lo haya inventado, sino porque lo he visto en un libro. Ese libro se llama "Mecánica de Fluidos" de Frank M. White. Te paso el enlace del libro en inglés:
En ese libro, la página es la 61, expresión (2.9) del capítulo 2.

Aún así, te incluyo también la parte a la que me refiero del mismo libro, pero en español:


Si ves al final del todo, dice justamente lo contrario a lo que me acabas de decir: "Así, no es la presión, sino el gradiente de presión el causante de la fuerza que debe ser equilibrada por la gravedad, la aceleración u otro efecto en el fluido"

Recalcar también que esto es una mala aplicación del teorema de Gauss:

$-{\iint}_{A }\vec{\nabla}p\cdot\vec{n}d\sigma=-{\iiint}_{V }\vec{\nabla}(\vec{\nabla}p)dV$.

Debería ser

$-{\iint}_{A }\vec{\nabla}p\cdot\vec{n}d\sigma=-{\iiint}_{V }\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}p)dV$.

.

Sí, llevas razón, es como tú dices. Pero desde mi punto de vista, creo que no he hecho una mala aplicación del teorema, sino simplemente, se me ha olvidado el punto del producto escalar. Pensaba que se sobreentendería lo que quería decir. Aún así, intentaré ser más riguroso si cabe en mis aportes.

Por último, decir que no me gusta especialmente el uso de la flecha encima del operador Nabla. Es un operador, no un vector. Pero esto son sólo mis gustos.

Bueno, como dices, eso va en función de los gustos de cada uno. Hasta ahora, los títulos que he visto siempre ha aparecido el operador nabla en negrita (indicativo de que es un vector) o con la flecha de vector justo encima. Yo se la pongo porque aunque sí es cierto que es un operador, también hay que darse cuenta que lleva intrísecamente asociada en su aplicación la terna de vectores unitarios $\hat{\imath}$,$\hat{\jmath}$ y $\hat{k}$, razón por la cual es cierto que se me había olvidado el punto del producto escalar.

Por último, decir que ahora que entiendo que el símbolo ese que pusiste era la matriz identidad, creo que lo entiendo bastante bien el concepto.

Muchas gracias. Un Saludo

[ZYpp]

Re: Duda presión y teorema de Gauss

Repito:

Lo que tú dices no tiene sentido físico real, ya que además estás partiendo de una integral de superficie de dicha fuerza. Las integrales de superficie sólo son para fuerzas de contacto. En tal caso deberías escribir directamente $\iiint _V \nabla p dV$, con lo que estamos en las mismas.

La idea es que habías escrito una integral de superficie para esa fuerza, que no es de contacto. Sería una fuerza volumétrica, que tampoco es una fuerza "neta" en el sentido común de la palabra. Sólo basta con ver las dimensiones de la expresión para ver que no son las de una fuerza. De todas formas, ya te dije que si la fuerza neta la escribes como $\iiint _V \nabla p dV$ (antes tenía mal puesto el símbolo integral, lo acabo de corregir), estamos en las mismas. No es más que un artilugio matemático.

Para que te hagas una idea, los esfuerzos viscosos también son fuerzas de contacto, pero siempre se pueden modelar como fuerzas volumétricas aplicando el teorema de la divergencia de Gauss.

Decir de paso que el White me parece un libro malísimo y muy sobrevalorado. Si te interesa estudiar Mecánica de Fluidos, te recomiendo algún libro como el Landau, el Batchelor o (en español) el Crespo. Si bien este último flojea en algunos puntos.