Secundaria duda conceptual Presión y velocidad

[Galois]

Hola, tengo una duda conceptual.
Me gustaría q me ayudaran a entender por qué a mayor velocidad menor presión, y a mayor presión menor v. cuando uno riega el jardin y achica con el dedo el orificio de salida del agua, ésta golpea más fuerte la pared q con el orificio totalmente destapado. osea sale con mas "presión" o esto no es así?

[ZYpp]

Re: duda conceptual Presión y velocidad

No es exactamente así lo que dices. Eso sólo se aplica a una misma línea de corriente: No puedes comparar distintos flujos y decir que como uno va más rápido que otro, tiene menor presión. Considerando que hablas de una misma línea de corriente (mismo flujo de fluido, por decirlo así), la respuesta es simple y llanamente: Conservación de la energía mecánica (no de la energía total). Desarrollemos esto. En caso de que no te interese el desarrollo, con lo que he dicho bastaría, aunque también puedes ir al final del post y ver a qué conclusión llegamos.

Las ecuaciones fundamentales que rigen el comportamiento de los fluidos son las ecuaciones de Navier-Stokes. Nos interesa particularmente la ecuación de conservación de cantidad de movimiento, a saber:

$$\rho \left( \frac{\partial \vec v}{\partial t}+v\cdot \nabla \vec v \right) = \rho \vec f_m - \nabla p + \nabla \cdot \tau$$

Donde $\vec f_m$ son las fuerzas másicas que actúan sobre cada partícula fluida y $\tau$ es el tensor de esfuerzos viscosos. Usualmente habría que modelar este tensor con alguna ley constitutiva, por ejemplo la ley de Navier-Poisson para fluidos newtonianos. Sin embargo, nosotros vamos a trabajar con fluidos ideales donde no existen rozamientos, así que nos vamos a ventilar este término.
Imaginando que las fuerzas másicas sólo son las debidas a la gravedad y que, si existen otras, éstas son despreciables frente a la de la gravedad, podemos escribir

$$\vec f_m = -\nabla U = -\nabla \left(gz \right)$$

$$\rho \left( \frac{\partial \vec v}{\partial t}+v\cdot \nabla \vec v \right) = -\rho \nabla U - \nabla p$$

Que escrito a lo largo de una única línea de corriente resulta ser

$$\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial l}\left( \frac{1}{2}v^2 + U \right)+\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial l} = 0$$

Que es lo que se conoce como ecuación de Euler-Bernouilli. Aún podemos explotar más esto. En el caso de que el movimiento sea casi estacionario, es decir, que no dependa del tiempo (al menos no en la escala de tiempos que nos interesa), se cumplirá que $\frac{\partial v}{\partial t} \approx 0$; si además existe una función de barotropía, es decir, una relación que nos de la densidad conocida en función de la presión en todo punto de la línea de corriente, podremos escribir

$$\omega = {\int_{p_i}}^p \frac{\dd p}{\rho \left( p,T \right)}$$

de forma que la ecuación de Euler-Bernouilli queda de la forma

$$\frac{\partial}{\partial l}\left( \frac{1}{2}v^2 +U + \omega \right) =0$$

Si el fluido es incompresible, como el caso de un líquido, la función de barotropía es simplemente $\omega = \frac{p}{\rho}$ de forma que, si además tenemos en cuenta como ya dije antes que las únicas fuerzas másicas que actúan son las debidas a la gravedad obtenemos tras la integración a lo largo de la línea de corriente una ecuación archiconocida:

$$\frac{1}{2}v^2 +gz + \frac{1}{\rho}p = cte$$

Que no es otra que la ecuación de Bernouilli, como era de esperar.

Ahora a las conclusiones: Esta ecuación representa la conservación de la energía mecánica a lo largo de una línea de corriente. Si no hay fuerzas disipativas (como la viscosidad) como ya hemos supuesto, para que se conserve la energía mecánica al aumentar la velocidad del fluido, la presión ha de disminuir (si consideramos que la altura no cambia tampoco). Es decir, hemos incluido un término nuevo, característico de los fluidos, a la conservación de la energía mecánica de toda la vida: Tenemos energía cinética, $T=\frac{1}{2}v^2$; energía potencial, $V=gz$; y por último, energía de presión, $P=\frac{1}{\rho}p$.

Espero haber aclarado la duda. Saludos.

[Clarck Luis]

Re: duda conceptual Presión y velocidad

Hola ZYpp, tengo una pequeña duda con respecto a lo ultimo que mencionas, es verdad que esa ecuación es valida para una linea de corriente, pero he notado que en los problemas básicos de fluidos se usa Bernoulli en lineas de corriente distintas, a que se debe esto? es una aproximación?

[ZYpp]

Re: duda conceptual Presión y velocidad

Hola ZYpp, tengo una pequeña duda con respecto a lo ultimo que mencionas, es verdad que esa ecuación es valida para una linea de corriente, pero he notado que en los problemas básicos de fluidos se usa Bernoulli en lineas de corriente distintas, a que se debe esto? es una aproximación?

Supongo que dependerá del problema en cuestión, pero por lo general los que se me vienen a la mente (como uno que hay en este mismo foro que se divide la tubería en dos) son aproximaciones, en las que se tiene en cuenta la relación entre un punto dado y uno de referencia, que es común para varias líneas de corriente en virtud de aproximar un perfil constante en el tubo; es decir, despreciando viscosidad y demás.

Vamos, que si tienes dos líneas de corriente que en algún punto llegan a estar suficientemente próximas como para decir que el flujo tiene las mismas propiedades, entonces puedes comparar entre sí el estado de varias líneas aunque estén muy alejadas.

En el caso del tubo que se divide en dos, que mencioné antes, un punto de refería sería cualquiera antes de la división del tubo, ya que se considera que el flujo es ideal y constante en cada sección de tubería. Luego se puede aplicar Bernouilli entre las dos tuberías bifurcadas.

Si me he explicado de pena, que es posible dadas las altas horas de la noche, no dudes en decírmelo que me esforzaré en explicarme mejor.

[Clarck Luis]

Re: duda conceptual Presión y velocidad

Entonces si hablamos de lineas de corriente que están próximas podemos decir que sus propiedades son casi las mismas, esto implica que podamos usar Bernoulli entre dos puntos cualquiera de las lineas de corriente en cuestión. Esto es lo que he entendido , pero me confunde un poco cuando dices:

entonces puedes comparar entre sí el estado de varias líneas aunque estén muy alejadas.

A que exactamente te refieres con "muy alejadas", creí que debían ser "próximas".