Velocidad de onda y lambda respecto a profundidad del fluido

[ZYpp]

Re: Velocidad de onda y lambda respecto a profundidad del fluido

[FONT=book antiqua][FONT=century gothic]pero me quedo la duda de, como varia la velocidad de propagacion respecto a la profundidad.
Si a mayor profundidad menor velocidad o al reves, en fin, nose.
[/FONT][/FONT]

El problema no es en absoluto trivial, pero intentaremos obtener la relación entre la velocidad de propagación y la altura. Si el desarrollo no te interesa, salta todo y vete al final.

Como todo problema en Mecánica de fluidos, comenzamos con las ecuaciones de Navier-Stokes:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \vec v \right) = 0$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Comencemos a hacer simplificaciones. La primera es que el fluido va a ser agua, por tanto la densidad $\rho$ será constante. También consideraremos que las fuerzas viscosas serán despreciables, por tanto $\nabla \cdot \tau \approx \vec 0$. El flujo será irrotacional, por lo tanto la velocidad podrá determinarse como $\vec v = \nabla \varphi$, y la única fuerza másica que actuará será la de la gravedad, $\vec f_{m} = \vec g$. Con todo esto, el sistema de ecuaciones de Navier-Stokes queda simplificado. Con esto, las ecuaciones de Navier-Stokes quedan como

$$\nabla ^2 \varphi = 0$$

$$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \frac{1}{2}\left( \nabla \varphi \right) ^2 + \frac{p}{\rho} + gz = C\left( t \right)$$

La superficie libre del agua la podremos escribir como una ecuación de la forma $f\left( x,y,z,t\right) = 0$. En cuanto al vector normal y a la velocidad normal tenemos:

$$\hat n = \frac{\nabla f}{\left\vert{} \nabla f\right\vert{}}$$

$$\vec v _n = \frac{\nabla f_t}{\left\vert{} \nabla f\right\vert{}}$$

pero es que además, la superficie libre es parte del agua, así que la velocidad normal será $\dst v_n = \hat n \cdot \nabla \varphi$, por tanto se obtiene una condición cinemática para la superficie libre como:

$$f_t + \nabla \varphi \cdot \nabla f = 0$$

La condición cinemática en el fondo es que la velocidad normal sea nula, por tanto en $z = -H$

$$\frac{\partial \varphi}{\partial z}=0$$

Por último nos falta una condición dinámica sobre la superficie libre, ya que ésta se puede deformar (por ser agua) y, por tanto, ha de cumplir la ecuación de cantidad de movimiento. La relación buscada se obtiene, en la superficie libre, para $p=p_a$:

$$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \frac{1}{2}\left( \nabla \varphi \right) ^2 + \frac{p_a}{\rho} + gz = C\left( t \right)$$

Si metemos todas las constantes ($p_a$,$\rho$ y $C\left( t \right)$) dentro del potencial de velocidades, la condición dinámica queda como:

$$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \frac{1}{2}\left( \nabla \varphi \right) ^2 + gz = 0$$

Imaginemos ahora que para cada $z$ sólo hay una pareja de puntos $\left( x,y \right)$ que cumpla la ecuación de la superficie libre $f$, lo cual es cierto a menos que estemos hablando de olas o cosas similares; en este caso podemos escribir $z_s = f\left( x,y,t \right)$. Para ondas que se propagan como en este problema, es una condición perfectamente asumible. Si además tenemos en cuenta que la altura de las ondas es pequeña respecto a su longitud de onda, podemos linealizar las ecuaciones anteriores...

$$v_n = \frac{\partial z_s}{\partial t}$$

$$v_n = \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vert_{z=z_s}$$

Con esto obtenemos la condición de contorno cinemática para la superficie libre, pero linealizada, para $z=0$:

$$\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial z_s}{\partial t}$$

Desarrollando $\dst \frac{\partial \varphi}{\partial z}$ en serie de Taylor alrededor de $z=0$ y despreciando infinitésimos de orden superior:

$$\frac{\partial \varphi}{\partial z}\vert_{z=z_s} \approx \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vert_{z=0} + z_s \frac{\partial ^2 \varphi}{\partial z^2}\vert_{z=z_s} \approx \frac{\partial \varphi}{\partial z}\vert_{z=0}$$

Al ser las alturas relativas pequeñas en la superficie libre, así como los ángulos de inclinación pequeños, las componentes de la velocidad en la superficie van a ser también pequeñas, por lo que la condición dinámica se reduce, para $z=0$ a

$$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + gz_s = 0 \Rightarrow z_s = -\frac{1}{g}\frac{\partial \varphi \left( x,y,0,t \right)}{\partial t}$$

Y por fin la tan deseada relación final linealizada, que se obtiene derivando la anterior respecto del tiempo:

$$\frac{\partial \varphi}{\partial z}= -\frac{1}{g}\frac{\partial ^2 \varphi}{\partial t^2}$$

para $z=0$.

Vamos ahora a la resolución del problema así planteado, con estas simplificaciones. En principio la solución será la de una onda sinusoidal. Esto es cierto para ondas periódicas (como tenemos aquí) y siempre y cuando no sean poco profundas. Además por simetría se considera un problema bidimensional. En caso de aguas que sean suficientemente poco profundas, la forma de la onda deja de ser sinusoidal pero sigue cumpliendo las condiciones que antes escribimos, que son lineales y por tanto admiten el principio de superposición: La onda real se podría determinar como una composición de ondas sinusoidales elementales (Véase teoría de Fourier).
La amplitud de la onda será $a$ y el número de onda será $k=2\pi / \lambda$, con $\lambda$ la longitud de onda:

$$z_s = a \cos \left( kx - \omega t \right)$$

Con lo cual el potencial de velocidades ha de ser una función seno, que además cumple la ecuación de Laplace:

$$\frac{\partial ^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 \varphi}{\partial z^2} = 0$$

Con las ecuaciones de contorno

$$\frac{\partial \varphi}{\partial z}=0 ~~\text{en}~z=-H$$

$$\frac{\partial \varphi}{\partial z}=-\frac{1}{g}\frac{\partial ^2\varphi}{\partial t^2} ~~\text{en}~z=0$$

Aplicando separación de variables en la ecuación de Laplace:

$$\varphi = f\left( z \right) \sin \left( kx - \omega t\right)$$

Para determinar las funciones desconocidas $f\left( z \right)$ y $\omega$ metemos esta forma de $\varphi$ en la ecuación de Laplace y obtenemos

$$f'' - k^2 f = 0$$

Cuya solución general es:

$$f\left( z \right) = Ae^{kz}+Be^{-kz}$$

Reemplazando...

$$\varphi = \left( Ae^{kz}+Be^{-kz} \right) \sin \left( kx - \omega t\right)$$

Y por último, aplicando las condiciones de contorno, obtenemos el siguiente pepino:

$$\varphi = \frac{a \omega}{k}\frac{\cosh \left( z+H\right)}{\sinh kH}\sin\left( kx - \omega t\right)$$

Para sacar una relación entre la frecuencia del movimiento y las dimensiones de las ondas metemos la forma genérica del potencial de velocidades en la condición cinemática del fondo y si tenemos en cuenta que $B = Ae^{-2kH}$ obtenemos...

$$\omega = \sqrt{gk \tanh kH}$$

pero además, podemos relacionar la frecuencia con la velocidad de propagación de la onda como $c = \omega / k$ por tanto, la velocidad de la onda finalmente es:

$$c = \sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi}\tanh \left( \frac{2 \pi H}{\lambda}\right)}$$

Como curiosidad, en el caso de aguas poco profundas la velocidad de propagación se reduce a $c = \sqrt{gH}$ mientras que para aguas muy profundas se reduce a $c =\sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi}}$

Saludos y espero haber sido de ayuda. Es un problema bonito.

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Como no te puedo contestar al privado (tienes la bandeja llena), te dejo por aquí mi contestación ya que en los demás lugares estaría fuera de lugar.

[FONT=century gothic]Gracias por severa respuesta, para ser honesto no la esperaba .
Mi duda era simplemente decir, la velocidad es inversa o directamente proporcional a la profundidad, jeje.
lo peor (y me averguenzo ) es que aun no se como se relacionan.

aun estoy en la preparatoria(bachillerato)[/FONT]

Te copio el final de lo que escribí:

[FONT=Verdana]pero además, podemos relacionar la frecuencia con la velocidad de propagación de la onda como $c = \omega / k$ por tanto,[/FONT] la velocidad de la onda finalmente es:

[FONT=Verdana]

$$c = \sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi}\tanh \left( \frac{2 \pi H}{\lambda}\right)}$$

[/FONT]

[FONT=Verdana]Como curiosidad, en el caso de aguas poco profundas la velocidad de propagación se reduce a $c = \sqrt{gH}$ mientras que para aguas muy profundas se reduce a $c =\sqrt{\frac{g \lambda}{2 \pi}}$[/FONT]

Esa es la relación entre la velocidad de propagación de las ondas (c) y la profundidad (H).

Vamos, que para aguas poco profundas la velocidad es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la altura, mientras que para aguas muy profundas es independiente de la altura. Para aguas intermedias, toca usar la expresión larga.

Saludos y no te avergüences por preguntar. Nadie nace sabido.

[Enphym]

[FONT=century gothic]Hola a todos;
primero que nada, al postear este hilo, me quedo la duda si esta era la zona indicada, si no es asi, le agradezco a algun mod que lo ubique en
el sitio correcto (gracias por la paciencia).
Estaba revisando unas pruebas de respuesta multiple y me encontre con esta.
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[FONT=book antiqua][FONT=century gothic]"se" que la velocidad de propagacion varia de igual manera que la longitud de onda y que la frecuencia siempre se ha de mantener constante.

viendo la respuesta(b) reafirme lo que "sabia", pero me quedo la duda de, como varia la velocidad de propagacion respecto a la profundidad.
Si a mayor profundidad menor velocidad o al reves, en fin, nose.

Me la pase buscando en Google y me salia pavadas de olas y mareas (esto se relaciona con eso?)[/FONT][/FONT]