Otras carreras Variación del volumen de un barco hundido, necesito ayuda

[eugenia]

Un barco hundido está a 3500 m de profundidad.calcular la presión que soporta el barco si la presión a nivel del mar es de 1 atm. Suponiendo que esa presión es equivalente a un esfuerzo de compresión y que el comportamiento del barco frente a la deformación es equivalente al de un cubo de 100 mil litros (volumen en ausencia de presión), calcular el cambio en volumen que sufre el barco hundido.
Datos: densidad del agua= 1000 kg/m3, g= 9'8 m/s2 módulo de young = 2, coeficiente de Poisson = 0'3

He usado esta formula dV/V = 1/B . p
siendo B el módulo de compresión volumetrico
¿es correcto?
De este problema depende que apruebe la asignatura de fisica.
Gracias, besos
Podeis ayudarme?

[alefriz]

Re: Variación del volumen de un barco hundido, necesito ayuda

Un barco hundido está a 3500 m de profundidad.calcular la presión que soporta el barco si la presión a nivel del mar es de 1 atm. Suponiendo que esa presión es equivalente a un esfuerzo de compresión y que el comportamiento del barco frente a la deformación es equivalente al de un cubo de 100 mil litros (volumen en ausencia de presión), calcular el cambio en volumen que sufre el barco hundido.
Datos: densidad del agua= 1000 kg/m3, g= 9'8 m/s2 módulo de young = 2, coeficiente de Poisson = 0'3

He usado esta formula dV/V = 1/B . p
siendo B el módulo de compresión volumetrico
¿es correcto?
De este problema depende que apruebe la asignatura de fisica.
Gracias, besos
Podeis ayudarme?

De acuerdo a ley de HOOKE, las deformaciones de un material isotrópico de acuerdo a los ejes coordenados {x,y,z} son:

$\epsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z))$
$\epsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z))$
$\epsilon_z = \frac{1}{E}(\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y))$

Teniendo en cuenta que las tensiones para cada eje se pueden considerar iguales, en primera aproximación, a la presión que hay a esa profundidad:

$\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = p_o + \rho g H$

La variación volumétrica será:

$\frac{\Delta V}{V}= \epsilon_x +\epsilon_y+\epsilon_z = \frac{3(1-2\nu)}{E}(p_o+\rho g H)$

Se ve que el módulo de compresión volumétrico que tu has llamado como B, tiene el valor de $B = \frac{E}{3(1-2\nu)}$

Suponiendo que el acero del barco tiene un módulo de Young (E) de valor 200 GPa, el valor de la variación de volumen será tan sólo de 20,64 litros (un 0,02% del volumen inicial)

[Jordiel]

Re: Variación del volumen de un barco hundido, necesito ayuda

Hola.
En una 2ª aproximación para determinar su variación de volumen mediante ecuaciones generales de la elasticidad (consideraremos que el barco es un sólido elástico), supondremos que el barco, al deformarse se comporta igual al de un cubo de 100 mil litros, como indicó eugenia en el enunciado del problema. Así que las tensiones que sufre el barco (en forma de cubo) estarán en función del eje vertical, llamémosle eje z.

Para empezar estudiaremos el equilibrio en el contorno con las ecuaciones correspondientes:

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Esta expresión define el estado tensional en cualquier punto de un sólido, y la tensión en cada punto del sólido depende de la orientación del plano que se considere, y del sistema de referencia.
Empleamos esta expresión para sacar las ecuaciones de equilibrio en el contorno, donde se tiene que reflejar fidedignamente las tensiones exteriores que se producen en los puntos de su contorno, siempre y cuando el sólido se encuentre en equilibrio (y si se encuentra hundido a 3,5km de profundidad, más equilibrio todavía. Esperemos que el suelo no esté inclinado y no haya corrientes oceánicas)

$\vec \phi=\vec \phi_{ext}$

En este caso, las tensiones exteriores que se producen en el barco no son más que las fuerzas por unidad de superficie que ejerce el líquido, es decir, las presiones.

Los esfuerzos de presión que ejerce el líquido son normales a las caras del barco, y suponiendo que las tensiones tangenciales producidas por rozamiento cuando empieza la deformación son nulas (coeficiente de rozamiento entre suelo y barco=0), llegamos a la conclusión de que los esfuerzos de compresión son las tensiones principales del barco, y sus direcciones principales son las de los ejes xyz.

El tensor de tensiones del barco, referenciado en el sistema de ejes xyz de la figura, toma esta forma:

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La presión en las caras del barco las conocemos:

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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es el peso específico del líquido. El vector tensión en las caras del barco deberá satisfacer este resultado:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Siendo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] el vector unitario que toma la presión.
Y, por definición:

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Siendo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] el vector normal del plano unitario de una de las caras del barco.

Para el caso, por ejemplo, de la cara que se muestra en el dibujo:

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Así que:

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En la cara opuesta sobre este eje x se obtiene la misma conclusión.
Probando el equilibrio en las otras caras laterales perpendiculares al eje y obtenemos que:

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Ya sólo faltaría calcular [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] teniendo en cuenta la presión en el contorno superior e inferior, siendo estas presiones constantes a lo largo de estas superficies. Entonces, conociendo la ley de las presiones en este líquido p(z), la tensión en la cara superior sería $$-p(z)$$ para el caso particular [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (el barco, que tiene forma de cubo como se comentó al principio, es de 100m cúbicos). Y para el contorno inferior la tensión sería $$-p(z=0)$$.

Acabamos de calcular el estado tensional del barco en todos los puntos de su contorno, pero el barco no es hueco, tiene masa. La expresión de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] define, como se ha dicho anteriormente, el estado tensional en cualquier punto de un sólido. Conocemos los exteriores, faltan los interiores.

Como el barco se encuentra en equilibrio, cada punto interior también lo deberá estar. Al tener masa el conjunto ejerce una fuerza con dirección el eje z y sentido negativo, por lo que cada punto interno del barco ejercerá una fuerza por unidad de volumen con la misma dirección y sentido que la fuerza del barco.
Esta fuerza que ejerce el barco es justamente su peso. Por ende, la fuerza por unidad de volumen asociada a cada punto del barco no es nada más ni nada menos que su peso específico.

Las ecuaciones que satisfacen el equilibrio interno son:

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Siendo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la fuerza por unidad de volumen

Con las ecuaciones se llega a la conclusión que:

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Esta fuerza de volumen es el peso específico $\gamma_{b}$ del barco, que tiene asociado un vector de dirección eje z y sentido negativo, como ya se ha comentado:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Conclusión:

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Operando sale:

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C es una constante que se llega a despejar gracias a que conocemos una condición de contorno que se consideró párrafos atrás. Se trata de que:

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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Con esto ya podemos reflejar el estado tensional de todo el barco, cuyo tensor de tensiones es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora, el tensor reúne el comportamiento elástico de todo el barco debido a su masa y a la presión del líquido, representando fielmente el estado tensional del contorno inferior del barco, ya que tiene en cuenta, además de la presión ($$-p(z=0)$$) dicho anteriormente, la reacción normal sobre él, que a su vez, también tiene en cuenta el empuje hidrostático de Arquímedes, reduciendo su efecto.

Pasando a la ley de Hooke, el cual relaciona tensiones con deformaciones, obtenemos:

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Por último, la variación de volumen:

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Desconocemos el peso específico del barco, y el valor del módulo elástico no tiene unidades. Si el barco fuera de acero (para comparar resultados con alefriz) disponemos de todos los datos:

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$$H=3500m$$

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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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Alefriz, creo que tu resultado es 0,2064 litros en vez de 20,64 litros. Me parece que te has confundido al aplicar el módulo elástico.

Un saludo

[alefriz]

Re: Variación del volumen de un barco hundido, necesito ayuda

Alefriz, creo que tu resultado es 0,2064 litros en vez de 20,64 litros. Me parece que te has confundido al aplicar el módulo elástico.

Un saludo

Mi resultado es correcto:

$\Delta V = 100\cdot 10^3 \cdot \frac{3(1-0,6)}{200 \cdot 10^9}(100\cdot 10^3 + 1000\cdot 9,8 \cdot 3500) = 20,64 \, litros$

Y pienso que bastante más sencillo que todo tu desarrollo para llegar al mismo resultado, aunque ahora que lo pienso, la densidad debi haber tomado la del agua salada (1025 kg/m3)...

Saludos

[Jordiel]

Re: Variación del volumen de un barco hundido, necesito ayuda

Totalmente de acuerdo alefriz. Rectifico lo dicho