1r ciclo Problema de un depósito que descarga en turbulento a través de un conducto

[kuvala]

Hola Buenas : En el siguiente ejercicio, me quedo atrancado y no sé como seguir. Voy a poner lo que yo he hecho por si alguien me pudiera indicar qué hacer
Planteo la ecuación de cantidad de movimiento para un movimiento turbulento:

$$\dst\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{1}{ 2}\frac{\partial {v}^{2 }}{\partial s}+\frac{1}{ \rho}\frac{\partial P}{\partial s}+\frac{\partial U}{\partial s}=-\frac{\lambda{v}^{ 2}}{8{r}_{h } }$$

con ${r}_{h }=\frac{Area seccion conducto}{Perimetro de la seccion }=\frac{d}{4 }$ el radio hidráulico.

y U el potencial gravitatorio U=gz

La altura de la entrefase aire-líquido respecto a la base del depósito es $\dst{z}_{ s}=\sin(\frac{s}{R })R$

La velocidad de la entrefase, será: $v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}={s}^{.}$

El primer término de (1) será: $\frac{\partial v}{\partial t}={s}^{.. }$

Teniendo en cuenta que el enunciado dice que no hay líquido dentro del conducto, aplicamos la hidrostática:
${P}_{2 }={P}_{a }+\rho g{H}_{0 }$

donde el punto 2 al que se hace referencia en la presión P2 es un punto que se encuentra en la base del depósito, dentro de él.

Con todo esto, vemos posible la integración en (1):

${\int}_{ 0}^{ {s}_{f }}{s}^{.. }ds+{\int}_{0 }^{ {{s}_{f }}^{. }}d(\frac{{{s}^{. }}^{ 2}}{2 })+\frac{1}{\rho }{\int}_{ {P}_{2 }}^{ P}dP+g{\int}_{ 0}^{ z}dz=-\frac{\lambda}{8{r}_{h } }{\int}_{ 0}^{ {s}_{f }}{{s}^{. }}^{ 2}ds$

Lo cual me queda:

${s}^{.. }{s}_{f }+(\frac{{{s}^{. }}^{ 2}}{2 })+\frac{1}{\rho }(P-{P}_{2 })+gz=-\frac{\lambda}{8{r}_{h } }{{s}^{. }}^{ 2}s$


Ahora, los problemas que tengo son los siguientes:
- No sé si lo que he hecho hasta aquí, está bien.
- Me aparece el término de la aceleración de s, que no sé si se puede anular o qué es lo que tengo que hacer con él.
- Si acaso estuviera bien, ¿Cómo pongo ${{s}^{. }}_{ f}({s}_{f })$ tal y como me dice el enunciado que haga?

Muchas gracias.

Un Saludo