1r ciclo Duda en el planteamiento

[davinci]

Buenas!

Resolviendo un problema de mecánica de fluidos llego a que mi resultado no coincide con el debería obtener. El problema consiste en una botella de 2 litros que se llena con 1,6 litros de agua. La botella tiene una altura de 25 cm y puede considerarse un cilindro. Luego, se cierra la botella con un tapón y se le hace un agujero a una altura de 10 cm con respecto al fondo por el que empieza a salir agua. Pide hallar la velocidad con la que sale.

Viendo que esta tapada, la presión en el punto 1 (sobre la superficie del agua) no es la presión atmosférica (la presión en el agujero sí es la atmosférica) por lo que su valor es:

$\dst {P}_{0} = {P}_{1} + {\rho}_{agua} g h ; {P}_{1} = 101300 Pa - 1000 Kg/m^3 9,81 m/s^2 0,15 m = 99828,5 Pa$

Y aplico Bernoulli:

$\dst {P}_{1} + {\rho}_{agua} g {H}_{agua} = {P}_{0} + \frac{1}{2} {\rho}_{agua} {v}^{2}$

H agua sería la altura de los 1,6 litros que (al ser 0,25 m para 2 litros) es 0,2 m. Despejando v me queda:

$\dst v = \sqrt{\frac{2({P}_{1} - {P}_{0} + {\rho}_{agua} g {H}_{agua})}{{\rho}_{agua}}} = \sqrt{0,981 m^2 / s^2} = 0,99 m/s$

Sin embargo en la solución del libro toma como valor de la presión P1 el de la atmósfera y la expresión de la velocidad que obtiene es esta (al ser las dos presiones iguales, las elimina):

$\dst v = \sqrt{2 g h}$

Gracias como siempre por la atención.

[visitante20160513]

Re: Duda en el planteamiento

En mi opinión y de forma estricta, la presión en la superficie del agua debería ser precisamente la presión de vapor del agua, que es un dato supuesta conocida la temperatura, pero no es la presión atmosférica precisamente por esa razón, por estar la botella tapada. Así pues aplicando Bernoullí y tomando $P_1$ como la presión de vapor del agua la respuesta correcta sería:

$\dst v = \sqrt{\frac{2({P}_{1} - {P}_{o} + {\rho}_{agua} g {H}_{agua})}{{\rho}_{agua}}}$

expresión en la que $P_1$ es la presión del vapor de agua a la temperatura ambiente y $P_o$ es la presión atmosférica. Dependiendo de cuales sean los valores aceptados para estas magnitudes así se obtendrá la velocidad de salida del agua por el orificio. Aunque en un cálculo como éste existe un factor que suele distorsionar de forma apreciable el resultado. Me refiero a las características del orificio de salida que suele generar pérdidas apreciables al no ajustarse exactamente sus paredes al flujo de la vena líquida lo que suele provocar que el resultado no sea exactamente a lo previsto por Bernoullí, y por lo tanto no tiene demasiado sentido hacer cálculos muy precisos por este efecto, pero lo adecuado según el enunciado dado es lo que expuse. Ya que el interior vacío de la botella en equilibrio térmico debe estar sometido a la presión de vapor del agua.

En primera aproximación pueden tomarse ambas presiones como $12\ y\ 760\ mmHg$ aunque la primera es muy variable con la temperatura y la segunda varía constantemente y es raro que alcance un valor tan elevado.

A la hora de realizar el experimento deberías medir la temperatura y presión atmosférica reales y obrar en consecuencia. Esta tabla te será útil:

http://slbn.files.wordpress.com/2008...n-de-vapor.pdf

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Duda en el planteamiento

Por lo que dices el libro calcula la velocidad con que empieza a salir el agua...
Y si lees el enunciado bien (enunciado que no pones) bien seguro que te está preguntando la velocidad con que el agua empieza a salir de la botella. A partir de aquí para resolver el problema la presión dentro de la botella es función del agua que haya salido (y si se toma en consideración la vaporización del agua también de la temperatura)

[davinci]

Re: Duda en el planteamiento

Jabato, considerando que este problema cayese en un examen y no pusieran el valor de la presión del vapor de agua como dato ni yo tuviese por que saber ese valor: ¿Cómo deduciría el valor de P1? ¿Está bien la fórmula que puse para sacar el valor de P1 y como se plantean las variables?

Óscar, si leyeses bien mi primer post verías que pongo el enunciado (aunque no íntegro, dado que no creo que te interese la historia de un chaval que viaja al monte y necesita llevar agua consigo...). ¿Podrías explicarme un poco más lo que has puesto en cursiva?

[visitante20160513]

Re: Duda en el planteamiento

Es posible que un problema como éste te lo pongan en un examen, y es posible también que no sepas de memoria la presión de vapor del agua, pero en cualquier caso resolver en la forma que expusiste en el primer mensaje es incorrecto porque la presión en la superficie del agua nunca será la presión atmosférica si la botella está tapada.

En tu cálculo no entiendo que es $h$ de valor $0,15\ m$ y que diferencia hay entre lo que llamas $h$ y lo que llamas $H_{agua}$ podrías explicar que es cada cosa.

Piensa que la altura de agua en la botella son 20 cm (25 x 1,6 / 2) y por lo tanto la diferencia entre la altura de la superficie del agua y la del orificio son 10 cm, datos que no me cuadran con el cálculo que haces.

Salu2

[davinci]

Re: Duda en el planteamiento

Jabato, tengo la sensación de que no has leído mi primer post entero

A ver:

``(...)pero en cualquier caso resolver en la forma que expusiste en el primer mensaje es incorrecto porque la presión en la superficie del agua nunca será la presión atmosférica si la botella está tapada.´´ (Lee línea 4)
``En tu cálculo no entiendo que es de valor y que diferencia hay entre lo que llamas y lo que llamas podrías explicar que es cada cosa.´´ (Lee línea 8)

Los 0,15 m es la diferencia: 0,25 - 0,10.

[oscarmuinhos]

Re: Duda en el planteamiento

Buenas!

Resolviendo un problema de mecánica de fluidos llego a que mi resultado no coincide con el debería obtener. El problema consiste en una botella de 2 litros que se llena con 1,6 litros de agua. La botella tiene una altura de 25 cm y puede considerarse un cilindro. Luego, se cierra la botella con un tapón y se le hace un agujero a una altura de 10 cm con respecto al fondo por el que empieza a salir agua. Pide hallar la velocidad con la que sale.

Sin embargo en la solución del libro toma como valor de la presión $P_1$ el de la atmósfera y la expresión de la velocidad que obtiene es esta (al ser las dos presiones iguales, las elimina):

$\dst v = \sqrt{2 g h}$

Leí el enunciado de la botella, leí tu desarrollo y leí lo que pones sobre la solución que te da el libro y como la obtiene.

Yo traté de explicar que, si esa es la solución que obtiene el libro y de la forma que la obtiene, el libro está calculando la velocidad del agua en el mismo momento en que empieza a salir, por eso deduje que eso era lo que te está preguntando.... Seguro que si lees de nuevo el enunciado, es esa y no otra la pregunta del libro.

Si de lo que se trata es de estudiar la velocidad de salida del agua en otro instante cualquiera se habrá de tener en cuenta que la presión del aire tiene que disminuir porque está aumentando continuamente el volumen a medida que se vacía, lo mismo que va disminuyendo la columna de agua por encima de orificio de salida:

Aplicando la ley de Boyle:

Sean $P_0$ y $V_0$ la presión y el Volumen que ocupa el aire dentro de la botella en el instante inicial y sean $P$ y $V$ la presión y el volumen en un instante t: $PV=P_0V_0$ de donde P en el instante t:

$P=\frac{P_0 .V_0}{V}$

Ahora bien, el volumen ocupado por el aire en la botella (inicialmente 400 $cm^3$) será el volumen de la botella menos el ocupado por el agua: $V= V_B -S(h_0 + h)=2\times {10}^{-3} -S(10\times{10}^{-2}+h)$ donde $V_B$ es el volumende la botella, S es su sección y $h_0$ =10 cm=0,1 m

Por otra parte: $v_1=\frac{\mathrm{d h} }{\mathrm{dt} }$

Con esto, la ecuación de Bernouilli correspondiente, tomando como origen para las alturas el centro del orificio de salida, será:

$P + \rho gh +\frac{1}{2 }\rho. {v}^{2 } = \frac{P_0.V_0}{V_B -S({10}^{-1 }+h)} + \rho.g.h + \frac{1}{2 }.\rho .\left(\frac{\mathrm{dh} }{\mathrm{dt} } \right)^{2 }=P_0 + \frac{1}{2 }\rho. {{v}_{1}}^{2 }$

Suponiendo ahora que la sección del orificio de salida sea pequeña con respecto a la sección de la botella (80$cm^2$) podremos hacer $\frac{dh}{dt }\cong0$
con lo que la ecuación del teorema de Bernouilli queda:

$\frac{P_0.V_0}{V_B -S({10}^{-1 }+h)} + \rho.g.h = P_0 + \frac{1}{2 }\rho. {{v}_{1}}^{2 }$

de donde te será facil despejar la velocidad ${v}_{2 }$ de salida del agua por el orificio

Para el caso de que no pudiera aplicarse la aproximación de que la velocidad con que baja el agua en la botella es despreciable frente a los otros términos de la suma, tendrías que conocer la sección del orificio de salida y tener en cuenta el principio de la continuidad ($S_1.v_1 = S_2.v_2)$ para expresar $v_1$ en función de $v_2.$..Pero, bueno, como no te dan la sección del orificio de salida es de suponer que se acepta la aproximación antes dicha.

Animo y feliz año

Suerte

[davinci]

Re: Duda en el planteamiento

¿Cómo llega el libro a la fórmula $\dst v = \sqrt{2 g h}$?

Esa es mi duda.

[gdonoso94]

Re: Duda en el planteamiento

Plantea el balance energético, es similar a una caída libre (arriba energía cinética nula y abajo potencial nula).

Suerte y un saludo.

[oscarmuinhos]

Re: Duda en el planteamiento

¿Cómo llega el libro a la fórmula $\dst v = \sqrt{2 g h}$?

Esa es mi duda.

LLega a esa solución (así lo entiendo yo) porque está calculando la velocidad en el instante inicial, solo en el instante inicial.

Y lo que hace es aplicar el teorema de Bernouilli (o balance energético que te explica gdnoso94):

$P_0 + \rho gh_0 +\frac{1}{2 }\rho. {v_0}^{2 } =P_1 + \rho gh_1 +\frac{1}{2 }\rho. {v_1}^{2 }$ (subíndice cero: superficie del agua dentro de la botella; subíndice 1: orificio de salida)

Cancela las presiones$P_0$ y $P_1$, porque en el instante inicial son evidentemente iguales; cancela el término $rgh_1$ porque es nulo y cancela $\frac{1}{2 }\rho. {v_0}^{2 }$ haciendo la suposición de que siendo la sección de la botella mucho mayor que el orificio de salida, la velocidad con que baja la superficie del agua dentro de la botella es despreciable frente al término $rgh_0$

[davinci]

Re: Duda en el planteamiento

¿Por qué en el instante inicial son iguales las presiones? O sea, yo entiendo que al estar el orificio abierto la presión es la atmosférica pero no entiendo porque en el interior es también la atmosférica.

[visitante20160513]

Re: Duda en el planteamiento

He meditado lo que expuse y creo que la correcta es otra. Hay que tener en cuenta que el tapón se pone después de tener la botella llena en parte, eso permite que en el instante inicial, justo antes de abrir el orificio lateral, la presión en la superficie del agua sea la atmosférica, porque lo era antes de colocar el tapón y por lo tanto debe serlo también después. En consecuencia el cálculo que hace el libro es correcto.

Ahora bien a medida que el líquido va saliendo la cosa cambia porque la presión del aire dentro de la botella disminuye porque su volumen aumenta y además el nivel del agua también baja porque el agua se va perdiendo por el orificio, lo que provocará que esa velocidad disminuya, lentamente porque ambos disminuciones son pequeñas (se supone que el diámetro del orificio es muy pequeño y la cantidad de agua que se pierde despreciable), pero la velocidad disminuirá gradualmente hasta anularse.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Duda en el planteamiento

¿Por qué en el instante inicial son iguales las presiones? O sea, yo entiendo que al estar el orificio abierto la presión es la atmosférica pero no entiendo porque en el interior es también la atmosférica.

Lo explica Jabato en el post #12
Antes de poner el tapón la presión sobre la superficie del agua está claro que es la presión atmosférica. Por lo tanto, cuando pones el tapón, el aire que queda ahora encerrado en la botella también está a la presión atmosférica, porque nada ha cambiado: sigue ocupando el mismo volumen y a la misma temperatura.

[davinci]

Re: Duda en el planteamiento

Suponiendo que en el interior la presión no fuera la atmosférica: ¿Se obtendría así: $\dst {P}_{1} = {P}_{0} - {\rho}_{agua} g {h}_{agua}$? Donde P1 es la presión en el interior y P0 la atmosférica en el orificio. h agua es la diferencia entre la altura de los 1,6 litros de agua y la distancia del agujero con el fondo, es decir, su valor es 0,10 metros.

[oscarmuinhos]

Re: Duda en el planteamiento

En general no se puede suponer eso.
Para calcular la presión en el interior de la botella, tendría el enunciado que ofrecer más datos con los que poder calcular dicha presión.

Esa suposición que haces solo sucede cuando estando el orificio abierto no sale agua o esta cesó de salir: en este caso, por aplicación sencilla del teorema de Bernouilli se llega a ese resultado, pero solo para dicho supuesto caso:

$P_0 + \rho gh_0 +\frac{1}{2 }\rho. {v_0}^{2 } =P_1 + \rho gh_1 +\frac{1}{2 }\rho. {v_1}^{2 }$

En esta ecuación de Bernouilli, si el agua no sale: $v_1=0$ y $v_0=0$. Y tomando como nivel cero el centro del orificio de salida:

$P_0 =P_1 + \rho gh_1$

Que es la ecuación que pones tú.