1r ciclo Problema vaciado tanque DOS orificios

[bluejet]

Hola, tengo una duda en el siguiente problema.
Me piden el tiempo de vaciado de un tanque de sección S_H lleno hasta una altura H=5m, al que se le han practicado dos orificios, uno a nivel del suelo y otro a 1m de éste, ambos de igual sección, S.
Por la conservación del caudal: $S_H*v_H=S(v_1+v_2),$ donde v_1 y v_2 serán las velocidades del fluido en los orificios 1 ($z_1$=0) y ($z_2$=1m).

Mi problema es cómo calcular las velocidades de salida de los orificios para poder introducirlas en la ecuación de vaciado:
$v_H=-\frac{dh}{dt }=\frac{S}{S_H }(v_1+v_2) \to \int_{h=H}^h -S_H dh=\int_{t=0}^t S(v_1+v_2) dt$

Ya que al aplicar la ecuación de Bernouilli y sustituir v_H de la ecuación de conservación del caudal me quedan dos ecuaciones acopladas de v_1 y v_2:
$\frac{v_H^2}{2 }+gH=\frac{v_1^2}{2 }$
$\frac{v_H^2}{2 }+gH=\frac{v_2^2}{2 } +gz_2$
Alguna idea??

Muchas gracias

[arivasm]

Re: Problema vaciado tanque DOS orificios

¿Y por qué no hacer uso de que $v_2=\sqrt{v_1^2+2gz_1}$? De esa manera, $\dst v_H=\frac{S}{S_H}\left(v_1+\sqrt{v_1^2+2gz_1}\right)=\sqrt{v_1^2-2g(H-z_1)}$. Resolviendo la ecuación de la última igualdad tienes $v_1$ y con ella las demás velocidades.

[Richard R Richard]

Re: Problema vaciado tanque DOS orificios

Hola quisiera aportarte algo

donde v_1 y v_2 serán las velocidades del fluido en los orificios 1 (z=0) y 2 (z=1m).

has invertido la notacion de 1 por 2
las ecuaciones son

$\frac{v_H^2}{2 }+gH=\frac{v_1^2}{2 }<br />$

$\frac{v_H^2}{2 }+gH=\frac{v_2^2}{2 }+gz_2<br />$

igual obtenias el mismo resultado con los indices invertidos

la recomendación de arivasm es carrecta te da una relacion entre las velocidades $v_1$ y $v_2$

$v_1=\sqrt{v_2^2+2gz_2}$ y


$\dst v_H=\frac{S}{S_H}\left(v_2+\sqrt{v_2^2+2gz_2}\right)=\sqrt{v_2^2-2g(H-z_2)}$

y también debes observar que

$v_H=-\frac{dh}{dt }=\frac{S}{S_H }(v_1+v_2) \to \int_{h=H}^h -S_H dh=\int_{t=0}^t S(v_1+v_2) dt$

solo es valida hasta que la cota se hace $H=1$ osea

$v_H=-\frac{dh}{dt }=\frac{S}{S_H }(v_1+v_2) \to \int_{h=H}^{h_2} -S_H dh=\int_{t=0}^t S(v_1+v_2) dt$

Luego sigues con una sola descarga

$v_H=-\frac{dh}{dt }=\frac{S}{S_H }(v_1) \to \int_{h_2}^{h_1} -S_H dh=\int_{t}^{tf} S(v_1) dt$

donde $tf$ es el tiempo que buscas

[Breogan]

Re: Problema vaciado tanque DOS orificios

Hola:

Como estoy bastante oxidado en este tipo de problemas, no voy a cuestionar tajantemete lo hasta ahora dicho; mi intensión es someter al escrutinio de los foreros el como yo entiendo que se debería solucionar el presente problema. En este contexto cada cosa que aparente ser una afirmación, es solo otra pregunta expresada en modo afirmativo.

El teorema de Bernoulli es aplicable, tal y como esta expresado habitualmente, a los elementos de fluido que siguen unas lineas de flujo paralelas sin derivaciones y con las consabidas aproximaciones necesarias (flujo laminar, no viscoso, rozamiento nulo, etc.)

Este teorema es una forma de escribir la conservación de la energía mecánica para este caso:

$\dst P + \frac 1 2 \ v^2 \ \delta + \delta \ g \ z = cte.$

la anterior es la energía de un fluido ideal en condiciones hidrodinamicas ideales por unidad de volumen del fluido.

Para el analisis del problema 1º definimos las variables, sus nombres, repito los dados en el mensaje original:

$\dst \left\{ \begin{array} {rrrrr} Punto \ H: & S_H \quad ; & z_H \quad ; & v_H \quad ; & P_H \\ Punto \ 1: & S_1 \quad ; & z_1 = 0 \quad ; & v_1 \quad ; & P_1 \\ Punto \ 2: & S_2 \quad ; & z_2 = 1 \quad ; & v_2 \quad ; & P_2 \end{array}$

toda otra variable no nombrada, sigue la misma regla de sub-indices.

Si consideramos un diferencial de volumen del liquido en el punto superior del liquido H tal que:

$\dst dV_H = S_H \ dz_H$

que se desplaza con velocidad v_H tendrá una energía por unidad de volumen dada por:

$\dst \varepsilon_H = P_H + \frac 1 2 \ v_H^2 \ \delta + \delta \ g \ z_H$

y una energía total:

$\dst dE_H = \varepsilon \ dV_H = P_H \ dV_H + \frac 1 2 \ v_H^2 \ \delta \ dV_H + \delta \ g \ z_H \ dV_H$

$\dst dE_H = P_H \ S_H \ dz_H + \frac 1 2 \ v_H^2 \ \delta \ S_H \ dz_H + \delta \ g \ z_H \ S_H \ dz_H$

y como $\dst dz_H = v_H \ dt$ queda:

$\dst dE_H = P_H \ S_H \ v_H \ dt + \frac 1 2 \ v_H^2 \ \delta \ S_H \ v_H \ dt + \delta \ g \ z_H \ S_H \ v_H \ dt$

Para los puntos 1 y 2 podemos hacer lo mismo:

$\dst dE_1 = P_1 \ S_1 \ v_1 \ dt + \frac 1 2 \ v_1^2 \ \delta \ S_1 \ v_1 \ dt + \delta \ g \ z_1 \ S_1 \ v_1 \ dt$

$\dst dE_2 = P_2 \ S_2 \ v_2 \ dt + \frac 1 2 \ v_2^2 \ \delta \ S_2 \ v_2 \ dt + \delta \ g \ z_2 \ S_2 \ v_2 \ dt$

Por conservación de la energía, la energía que pierde el diferencial de volumen en H al descender un dz debe ser igual a la energía de los diferenciales de volumen de liquido que salen por los agujeros 1 y 2 en el mismo dt:

$\dst dE_H = dE_1 + dE_2$

$\dst P_H \ S_H \ v_H \ dt + \frac 1 2 \ v_H^2 \ \delta \ S_H \ v_H \ dt + \delta \ g \ z_H \ S_H \ v_H \ dt = P_1 \ S_1 \ v_1 \ dt + \frac 1 2 \ v_1^2$$\dst \ \delta \ S_1 \ v_1 \ dt + \delta \ g \ z_1 \ S_1 \ v_1 \ dt + P_2 \ S_2 \ v_2 \ dt + \frac 1 2 \ v_2^2 \ \delta \ S_2 \ v_2 \ dt + \delta \ g \ z_2 \ S_2 \ v_2 \ dt$

Ahora podemos cancelar el dt en ambos miembros, también sabemos que $\dst P_H = P_1 = P_2 = P_0$:

$\dst P_0 \ S_H \ v_H + \frac 1 2 \ v_H^3 \ \delta \ S_H + \delta \ g \ z_H \ S_H \ v_H =$$\dst P_0 \ S_1 \ v_1 + P_0 \ S_2 \ v_2 + \frac 1 2 \ v_1^3 \ \delta \ S_1 + \delta \ g \ z_1 \ S_1 \ v_1 + \frac 1 2 \ v_2^3 \ \delta \ S_2 + \delta \ g \ z_2 \ S_2 \ v_2$

y por continuidad $\dst S_H v_H = S_1 v_1 + S_2 v_2$ por lo cual queda:

$\dst \frac 1 2 \ v_H^3 \ \delta \ S_H + \delta \ g \ z_H \ S_H \ v_H = \frac 1 2 \ v_1^3 \ \delta \ S_1 + \delta \ g \ z_1 \ S_1 \ v_1 + \frac 1 2 \ v_2^3 \ \delta \ S_2 + \delta \ g \ z_2 \ S_2 \ v_2$

como z1 = 0 y cancelando la densidad en ambos miembros.

$\dst \frac 1 2 \ v_H^3 \ S_H + g \ z_H \ S_H \ v_H = \frac 1 2 \ v_1^3 \ S_1 + \frac 1 2 \ v_2^3 \ S_2 + g \ z_2 \ S_2 \ v_2$

S1 = S2 = S:

$\dst \frac {S_H}{S} \ v_H^3 + 2 \ \frac {S_H}{S}g \ z_H \ v_H \right) = v_1^3 + v_2^3 + 2 \ g \ z_2 \ v_2$

Hasta acá llego por hoy, quedo a la espera de sus correcciones y/o comentarios, realmente no estoy seguro de nada de lo escrito. Gracias.

s.e.u.o.

Suerte

PD: disculpas por el mensaje anterior, después de publicarlo lo medite un poco mas dándome cuenta que en realidad el resultado tiene que ser el mismo. Ahora me es claro que las densidades de energía del liquido que sale por los agujeros 1 y 2 tienen que ser iguales entre si e iguales a la densidad de energía del liquido en el punto H, que se corresponde con lo dicho en sus mensajes. Gracias.

Suerte

[bluejet]

Re: Problema vaciado tanque DOS orificios

Hola, lo primero gracias a todos por vuestras rápidas respuestas. Ciertamente me hice un lío al traspasar la notación al foro e intercambié los índices, tal y como observa Richard R Richard. Ahora está editado y corregido.

También había notado que a partir de que el nivel del agua alcanza z2=1m, es como si sólo hubiera un orificio, la ecuación del caudal se simplifica a: $S_Hv_h=Sv_1$. Es sencillo entonces calcular el tiempo de vaciado a partir de aquí. Me sale 18.8min.

Para el tiempo restante que me falta por calcular, la única salida para calcular v1 y v2 es como apuntáis arivasm y Richard R Richard:

¿Y por qué no hacer uso de que $v_2=\sqrt{v_1^2+2gz_1}$? De esa manera, $\dst v_H=\frac{S}{S_H}\left(v_1+\sqrt{v_1^2+2gz_1}\right)=\sqrt{v_1^2-2g(H-z_1)}$. Resolviendo la ecuación de la última igualdad tienes $v_1$ y con ella las demás velocidades.

Ahora, resolver esta última ecuación es un infierno (he tenido que sustituir valores para poder operar las cosas y que no me salieran chorizos gigantes, H hay que sustituirla por h para luego poder integrar en la ecuación de vaciado). Aun así, llego a una ecuación bicuadrada y al resolver se obtiene v2 imaginaria… En algo me he tenido que equivocar…

En fin que parecía más fácil la cosa vamos… Gracias de todas formas.

[Richard R Richard]

Re: Problema vaciado tanque DOS orificios

Mi oxido es grande tambien pero se que tienes que llegar a una ecuacion diferencial del tipo

$\frac {dh}{\sqrt{ ctesdelproblema\cdot h}}= ctesdelproblema \cdot dt$ dando solucion similar al teorema de Torricelli pero que aqui no desprecia las secciones de la salida y la entrada.

Para poder integrar el tiempo y la altura, y como dije tiene que partir el problema en 2 uno con ambas velocidades de vaciado y otro con una sola, lo intente pero no me sale nada digno de tipear.

Si mal no recuerdo el resultado imaginario es el que te daria un tiempo de vaciado si utilizas ambas velocidades v1 y v2 por debajo de la cota z =1

[arivasm]

Re: Problema vaciado tanque DOS orificios

Permitidme que comente brevemente el post de nuestro buen amigo Breogán, cuyas aportaciones al foro son siempre valiosas.

No veo en él nada que sea incorrecto. Otra cosa diferente es que conduzca a algún camino. Lo primero que veo es que en la expresión final vuelven a aparecer mezcladas las tres velocidades, aunque, por supuesto, podemos recurrir a la ecuación de continuidad, expresada como $v_HS_H=(v_1+v_2)S$ para quedarnos con sólo dos de ellas.

De todos modos, sería necesaria una nueva ecuación para poder quedarse con una sola, además del hecho de que las potencias al cubo parecen añadir complicación a la matemática del problema.


Defenderé también el enfoque que propuse en mi post anterior: en mi opinión, el problema es equivalente a imaginar que la superficie $S_H$ está dividida en dos partes: una de ellas contiene tubos de fluido que conducen al orificio 1 mientras que los de la otra conducen al 2. La aplicación de la ecuación de Bernoulli a cada uno de tales tubos llevará entonces a la doble igualdad que permite relacionar dos de las velocidades con una de ellas, de manera que basta entonces con la ecuación de continuidad para establecer una sola ecuación que relacione $v_H$ con $z_H$. Por supuesto, otra cosa es que la solución de la ecuación diferencial sea sencilla o complicada!