Secundaria Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

[deliniante]

Hola tengo un problema con un ejercicio que no consigo entender, es el siguiente

[FONT=ArialMT]Una esfera de madera maciza de 10 cm de diámetro y densidad 0,75[/FONT]
[FONT=ArialMT]kg/dm3 cae a una piscina desde una altura de 3 m.
Calcular la profundidad máxima que alcanzará al sumergirse [/FONT]

[Alriga]

Re: principio de Arquímedes, esfera desde una determinada altura

Pista: prueba a calcular las energías, primero en la situación inicial que describe el enunciado y después en la situación final.
Saludos.

[arivasm]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

Calcula el empuje que proporciona el fluido, mediante la ley de Arquímedes. Con él y el peso del objeto determinas la fuerza resultante sobre el mismo (que estará dirigida hacia arriba, pues el empuje será mayor que el peso). A partir de aquí dispones de dos procedimientos: uno es usar la 2ª ley de Newton para obtener la aceleración (será de frenado) que tiene en el fluido y, previamente, con qué velocidad llega a éste (lo más sencillo es obtenerla por energías), El resto será entonces un sencillo ejercicio de movimiento uniformemente acelerado.

El segundo procedimiento, mucho más directo, pasa por usar el teorema de la energía cinética: el trabajo realizado por la resultante anterior (que será negativo pues ésta es de sentido opuesto al desplazamiento) será igual a la variación de la energía cinética. Como la final es nula bastará con que conozcas con qué energía cinética llega al agua, que será igual que la potencial inicial. Así pues, deberás encontrar que la distancia pedida es $mgh/F$ donde $F=E-P$.

PD: El contenido de este mensaje procede de un fusionado de hilos. No es una rectificación al mensaje de Alriga (de hecho, cuando lo escribí ni sabía de su existencia).

[Alriga]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

El segundo procedimiento, mucho más directo, pasa por usar el teorema de la energía cinética: el trabajo realizado por la resultante anterior (que será negativo pues ésta es de sentido opuesto al desplazamiento) será igual a la variación de la energía cinética. Como la final es nula bastará con que conozcas con qué energía cinética llega al agua, que será igual que la potencial inicial. Así pues, deberás encontrar que la distancia pedida es $mgh/F$ donde $F=E-P$.

Arisvam, por favor, una consulta, yo había pensado en plantearlo así:

Entiendo que si no hubiese fuerzas disipativas, la Energía potencial inicial de la bola a 3m de altura sobre el agua debería ser igual a la energía potencial final de la bola parada bajo el agua a una profundidad “y” por el empuje de Arquímedes.

$E_{p_i}=\rho_m V g h$

$E_{p_f}=(\rho_m V g - \rho_{ag} V g) \ y$

$y=\dfrac{\rho_m h}{\rho_m - \rho_{ag}}$

Sustituyendo datos

$y=-9 \ m$

Obtenemos que la profundidad alcanzada es de 9 metros.

Pero mi intuición me dice que eso es ilógico, una bola de madera que cae desde 3 m por encima del agua no creo que se hunda para nada 9 m, (intuyo que apenas medio metro)

¿He hecho mal el razonamiento? ¿Me falla la intuición? ¿O es que ignorar el rozamiento con el agua invalida este procedimiento de solución del problema?

Gracias y saludos.

[arivasm]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

El resultado que pones es correcto, pero yo lo justificaría de otra manera (por supuesto, como dices, prescindiendo de las fuerzas de viscosidad). Como parte del reposo, cuando alcance la máxima profundidad también estará en reposo, por lo que la energía cinética no habrá variado entre ambos eventos y, por el teorema de la energía cinética, el trabajo total será nulo. Usando tu notación, el trabajo realizado por el peso es $mg(h+y)=\rho_m V g (h+y)$ (fíjate que yo he llamado $y$ a la profundidad, en lugar de la altura del punto de máxima profundidad -con lo que tu $y$ es opuesta de la mía-), mientras que el realizado por el empuje es $-\rho_{ag} V g y$. Sumando e igualando con 0 resulta la expresión que has escrito, $\dst y=\frac{\rho_m}{\rho_{ag}-\rho_m}h$. Efectivamente, con los datos del problema es $y=3 h=9\ {\rm m}$


Añado: Por supuesto, la viscosidad reducirá este resultado. Pero al prescindir de ella es lógico que avance tanto en el líquido: la fuerza resultante en su interior, de frenado, debida al peso y el empuje, es sólo de módulo 1/3 del peso.

[Alriga]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

... Obtenemos que la profundidad alcanzada es de 9 metros. Pero mi intuición me dice que eso es ilógico, una bola de madera que cae desde 3 m por encima del agua no creo que se hunda para nada 9 m, (intuyo que apenas medio metro)
¿ ... es que ignorar el rozamiento con el agua invalida este procedimiento de solución del problema? ...

El rozamiento con el agua es brutal y evidentemente no puede despreciarse en un caso real, pues es capaz de parar una bala en apenas un par de metros. Mirad este vídeo de un hombre que se dispara con un rifle a sí mismo:

Saludos.

[arivasm]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

Muy bueno! Y sobre el problema que motiva el hilo, un nuevo ejemplo de la mala Física que aparece en tantos y tantos ejercicios. Lo que me recuerda a aquel ejemplo que ponía Feynman en el "Esta usted de broma, Sr. Feynman?":

Finalmente me tropiezo con un libro que dice: «La matemática tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Vamos a dar un ejemplo tomado de la astronomía, que es la ciencia que estudia las estrellas». Vuelvo la página y dice: «Las estrellas rojas tienen una temperatura de 4,000 grados, las estrellas amarillas de 5,000 grados...»; hasta ahora vamos bien. Continúa el libro: «Las estrellas verdes tienen una temperatura de 7,000 grados, las estrellas azules, una temperatura de 10,000 grados, y las estrellas violetas una temperatura de... (un valor muy grande)». No existen estrellas violetas ni estrellas verdes, pero las cifras de los restantes tipos son groseramente correctas. Son valores vagamente correctos, pero como siempre, ¡metedura de pata! Así era como se había hecho todo: todo estaba escrito por gente que no tenía repajolera idea de lo que estaba diciendo; así que todo estaba un poquito mal, ¡siempre! ¿Cómo vamos a enseñar bien, si usamos libros escritos por gente que no entiende del todo de qué está hablando? A mí no me entra en la cabeza. No sé por qué, pero los libros eran apestosos, ¡UNIVERSALMENTE APESTOSOS!

- - - Actualizado - - -

Copié incompleto el texto. Falta la parte que me recordó el ejercicio anterior:

De todos modos, aquel libro me estaba gustando, porque era el primer caso en el que se iba a aplicar aritmética a la ciencia. Me siento un poquito menos contento al leer las temperaturas de las estrellas, aunque sólo un poco, porque después de todo son más o menos las correctas; no es más que un ejemplo de un error. Entonces consulto la lista de problemas. Dice uno: «Juan y su padre salen a observar las estrellas. Juan ve dos estrellas azules y una roja. Su padre ve una estrella verde, una estrella violeta y dos estrellas amarillas. ¿Cuál es la temperatura total de las estrellas observadas por Juan y su padre?». Y yo reviento horrorizado.

Ya podía hablar mi esposa del volcán de allá abajo. Lo que he expuesto no era sólo un ejemplo: era constantemente así. ¡El absurdo perpetuo! Hallar la temperatura total de dos estrellas es algo falto por completo de sentido. ¡Nadie suma la temperatura de las estrellas, salvo tal vez para calcular la temperatura media de un grupo de estrellas, pero jamás para hallar la temperatura total! ¡Era horrible! Todo era una historieta para hacer sumar al niño; los autores no tenían ni idea de lo que hablaban. Era como ir leyendo frases con unos cuantos errores tipográficos, y entonces, de pronto, aparece una frase entera escrita al revés, de fin a principio. Así eran las matemáticas. ¡No había remedio!

[Alriga]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

... sobre el problema que motiva el hilo, un nuevo ejemplo de la mala Física que aparece en tantos y tantos ejercicios ...

Sí hay ejercicios que merecerían palos a quien los ha puesto,

... Lo que me recuerda a aquel ejemplo que ponía Feynman en el "Esta usted de broma, Sr. Feynman?":

Finalmente me tropiezo con un libro que dice: «La matemática tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Vamos a dar un ejemplo tomado de la astronomía, que es la ciencia que estudia las estrellas». Vuelvo la página y dice: «Las estrellas rojas tienen una temperatura de 4,000 grados, las estrellas amarillas de 5,000 grados...»; hasta ahora vamos bien. Continúa el libro: «Las estrellas verdes tienen una temperatura de 7,000 grados, las estrellas azules, una temperatura de 10,000 grados, y las estrellas violetas una temperatura de... (un valor muy grande)». No existen estrellas violetas ni estrellas verdes, pero las cifras de los restantes tipos son groseramente correctas. Son valores vagamente correctos, pero como siempre, ¡metedura de pata! Así era como se había hecho todo: todo estaba escrito por gente que no tenía repajolera idea de lo que estaba diciendo; así que todo estaba un poquito mal, ¡siempre! ¿Cómo vamos a enseñar bien, si usamos libros escritos por gente que no entiende del todo de qué está hablando? A mí no me entra en la cabeza. No sé por qué, pero los libros eran apestosos, ¡UNIVERSALMENTE APESTOSOS!

Já, ja,... el ejemplo de Feynmann acaba incluso peor, porque un poco más adelante dice:

... De todos modos, aquel libro me estaba gustando, porque era el primer caso en el que se iba a aplicar aritmética a la ciencia. Me siento un poquito menos contento al leer las temperaturas de las estrellas, aunque sólo un poco, porque después de todo son más o menos las correctas; no es más que un ejemplo de un error. Entonces consulto la lista de problemas. Dice uno: «Juan y su padre salen a observar las estrellas. Juan ve dos estrellas azules y una roja. Su padre ve una estrella verde, una estrella violeta y dos estrellas amarillas. ¿Cuál es la temperatura total de las estrellas observadas por Juan y su padre?». Y yo reviento horrorizado .... ¡El absurdo perpetuo! Hallar la temperatura total de dos estrellas es algo falto por completo de sentido. ¡Nadie suma la temperatura de las estrellas, salvo tal vez para calcular la temperatura media de un grupo de estrellas, pero jamás para hallar la temperatura total! ¡Era horrible!...

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

Hola tampoco el ejercicio tiene en cuenta la disipación de energía en el choque contra la superficie del agua.

desde el mediodía ,he intentado resolverlo aplicando la fuerza de arrastre

$F_a= \dfrac 12 C_d\rho_{ag}v^2A$

$A$= área de la esfera
$C_d$ =coeficiente de arrastre que depende de la forma del objeto= 0.47 para la esfera

Asi $m\cdot a = E+F_a-P$

había llegado hasta la ecuación diferencial , ya que la fuerza dependía de la velocidad

hace rato retome leyendo sus comentarios me di cuenta de que nada servía seguir intentando si la velocidad de entrada al agua se reduce en el choque en vaya a saberse cuanto.

Y si a veces la solución no proviene de ponerle ganas y sapienza , sino de cuán claro es el enunciado.



Saludos $\mathbb {R}^{3}$

[Breogan]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

Hola:

Mas halla de estar de acuerdo con las objeciones dichas sobre la formulación de algunos enunciados, y a causa justamente de esto (y de que estoy un poco exquisito) es que me resulta posible plantear lo siguiente:

En el enunciado se dice claramente que no se trata de un objeto puntual, tiene un diámetro de 10 cm, por lo cual considerando esto y asumiendo que los 3 mts de altura son medidos desde el menisco del liquido hasta el centro de masa de la esfera, tendríamos que la esfera solo recorre libremente 2,95 mts antes de chocar contra el menisco del liquido para luego experimentar una fuerza variable opuesta al movimiento (por Arquimedes) mientras termina de ingresar totalmente en el liquido, y posteriormente experimentar una fuerza constante hasta que se detiene.

Siempre despreciando la energía perdida en el choque, y aceptando las propiedades del liquido enunciados (u omitidos como dato), creo que se puede definir una función potencial definida por tramos, que solo sera valida para el cuerpo en cuestíon (otro cuerpo de distinta forma tendra otra función potencial).
Creo!

s.e.u.o.

Suerte

- - - Actualizado - - -

Hola:

La función potencial debe cumplir que:

$\dst \vec{\nabla} U(x,y,z) = - \vec F(x,y,z)$

Para el desarrollo tomamos un SR con el semieje positivos del eje "y" hacia arriba y con origen en el menisco de agua.
Como todas las fuerzas actuantes tienen la dirección del eje "y" solo la derivada del potencial respecto de la variable y sera distinta de cero, por eso podemos simplificar el gradiente como:

$\dst \vec{\nabla} U(x,y,z) = - F(x,y,z) \ \hat j$

$\dst \vec{\nabla} U(x,y,z) = \left( \frac{\partial }{\partial x} \ \hat i + \frac{\partial }{\partial y} \ \hat j + \frac{\partial }{\partial z} \ \hat z \right) \ U(x,y,z)$$\dst = \left( \frac{\partial }{\partial y} \right) \ U(y) \ \hat j = \frac{dU(y)}{dy} \ \hat j$

Por lo tanto:

$\dst \frac{dU(y)}{dy} = - F(y)$

Para el análisis del problema dividimos el eje "y" en tres zonas, $\dst [ \ \infty > y > r \quad , \quad r \geqslant y \geqslant -r \quad e \quad -r > y > - \infty \ ]$, el 1º sector es el sector donde la esfera esta toda en el aire, el 2º sector es cuando esta parcialmente sumergida, y el 3º cuando esta totalmente sumergida.

Para $\dst \infty > y > r$ tenemos:

$\dst F(y) = -m g$

$\dst \frac{dU(y)}{dy} = m g$

$\dst U(y) = m g y + K_1$

La constante K1 sera calculada considerando el resultado del próximo punto

La función potencial debe ser continua en r:

$\dst m \ g \ r + K_1 = m \ g \ r - \rho_l \ g \ \frac 1 4 \pi \ r^4$

$\dst K_1 = - \rho_l \ g \ \frac 1 4 \pi \ r^4$

$\dst \boxed{ U(y) = m g y - \frac 1 4 \pi \ \rho_l \ g \ r^4} \quad \forall \ y \ \in \ ]\infty , r[$



Para $\dst r \geqslant y \geqslant - r$:

Para resolverlo debemos dividirlo en dos por tratarse de una esfera:

1_ $\dst r \geqslant y \geqslant 0$

$\dst F(y) = -m \ g + \rho_l \ g \ V_s$

donde el 2º termino del 2º miembro corresponde al empuje del liquido sobre el casquete esférico sumergido:

$\dst V_s = \frac 1 3 \pi \ h^2 \ (3 r - h)$ es el volumen del casquete esferico, donde $\dst h = r - y$ es la altura del casquete esférico sumergido, reemplazando h:

$\dst V_s = \frac 1 3 \pi \ (r - y)^2 \ (2 r +y)$

Por lo cual:

$\dst \frac{dU(y)}{dy} = m \ g - \rho_l \ g \ \frac 1 3 \pi \ (r - y)^2 \ (2 r +y)$

Integrando:

$\dst U(y) = m \ g \ y - \rho_l \ g \ \frac 1 {12} \pi \ y \ \left( 8 r^3 - 6 r^2 y + y^3 \right) + K_2$

Como U(0)=0 entonces K2=0 y queda:

$\dst \boxed{U(y) = m \ g \ y - \rho_l \ g \ \frac 1 {12} \pi \ y \ \left( 8 r^3 - 6 r^2 y + y^3 \right)} \quad \forall \ y \ \in [r , 0]$



2_ $\dst 0 \geqslant y \geqslant -r$

$\dst F(y) = -m \ g + \rho_l \ g \ V_s$

Donde $\dst V_s = \frac 4 3 \pi r^3 - \frac 1 3 \pi \ h^2 \ (3 r - h)$ es el volumen de la esfera menos el volumen del casquete esférico no sumergido, donde $\dst h = r + y$ es la altura del casquete esférico no sumergido, reemplazando h:

$\dst V_s = \frac 4 3 \pi r^3 - \frac 1 3 \pi \ (r + y)^2 \ (2 r-y)$

Resultando:

$\dst \frac{dU(y)}{dy} = m \ g - \rho_l \ g \ \frac 4 3 \pi r^3 + \rho_l \ g \ \frac 1 3 \pi \ (r + y)^2 \ (2 r-y)$

Integrando:

$\dst U(y) = m \ g \ y - \rho_l \ g \ \frac 4 3 \pi r^3 \ y + \rho_l \ g \ \frac 1 {12} \pi \ y \left( 8 r^3 + 6 r^2 y -y^3 \right) + K_3$

Como U(0)=0 entonces K3=0 y queda:

$\dst \boxed{ U(y) = m \ g \ y - \frac 4 3 \pi \ \rho_l \ g \ r^3 \ y + \frac 1 {12} \pi \ \rho_l \ g \ y \left( 8 r^3 + 6 r^2 y -y^3 \right)} \quad \forall \ y \ \in \ [0,-r]$

Para $\dst -r > y > -\infty$ tenemos:

$\dst F(y) = -m \ g + \rho_l \ g \ V_s$

Donde $\dst V_s = \frac 4 3 \pi r^3$ es el volumen de la esfera, por lo cual:

$\dst \frac{dU(y)}{dy} = m \ g - \rho_l \ g \ \frac 4 3 \pi r^3$

Integrando:

$\dst U(y) = m \ g \ y - \rho_l \ g \ \frac 4 3 \pi r^3 \ y + K_4$

Por continuidad de la función potencial en -r tendremos:

$\dst - m \ g \ r + \rho_l \ g \ \frac 4 3 \pi r^4 + K_4 = - m \ g \ r + \rho_l \ g \ \frac 4 3 \pi r^4 - \rho_l \ g \ \frac 1 4 \pi \ r^4$

$\dst K_4 = - \rho_l \ g \ \frac 1 4 \pi \ r^4$

$\dst \boxed{ U(y) = m \ g \ y - \frac 4 3 \pi \ r^3 \ \rho_l \ g \ y - \frac 1 4 \pi \ \rho_l \ g \ r^4} \quad \forall \ y \ \in \ ]-r,-\infty[$


Finalmente la función potencial queda:

$\dst U(y) = m g y - \frac 1 4 \pi \ \rho_l \ g \ r^4$	$\forall \ y \ \in \ ]\infty , r[$
$\dst U(y) = m \ g \ y - \frac 1 {12} \pi \ \rho_l \ g \ y \ \left( 8 r^3 - 6 r^2 y + y^3 \right)$	$\forall \ y \ \in [r , 0]$
$\dst U(y) = m \ g \ y - \frac 4 3 \pi \ \rho_l \ g \ r^3 \ y + \frac 1 {12} \pi \ \rho_l \ g \ y \left( 8 r^3 + 6 r^2 y -y^3 \right) \quad \forall \ y \ \in \ [0,-r]$	$\forall \ y \ \in \ [0,-r]$
$\dst U(y) = m \ g \ y - \frac 4 3 \pi \ r^3 \ \rho_l \ g \ y - \frac 1 4 \pi \ \rho_l \ g \ r^4$	$\forall \ y \ \in \ ]-r,-\infty[$

Despues reviso lo echo y lo termino.

s.e.u.o.

Suerte

[carmelo]

Re: Movimiento en un fluido de un cuerpo de menor densidad

Hola.

Creo que no hay que ser tan drástico con quien planteó el problema. No tiene mucho que ver el ejemplo del disparo de una bala, la cual es una situación física muchisimo mas compleja en la cual intervienen otros fenómenos. El módelo planteado quizá esté asumiendo despreciable, la fuerza viscosa, lo cual puede o no ser valido, según el caso. Para algunos casos para liquidos con baja viscosidad, para velocidades pequeñas y objetos de pequeñas dimensiones, puede ser perfectamente despreciable respecto del peso y del empuje.

Me quedé con ganas de hacer la experiencia o una similar (La de la bola de madera, la de las balas no, menos ser el blanco).

Saludos
Carmelo