Otras carreras Problema de modelo matematico de la fuente de Heron

[AyemBoyo]

Buenas noches, podrían ayudarme con este problema por favor, llevo una semana tratando de resolver pero no doy con nada.

Necesito modelar una ecuacion diferencial que me diga cual el es caudal que sale por la manguera 4), teniendo en cuenta que todos los recipientes miden 25cm de radio y 10 cm de alto, y que estan llenos exactamente a la mitad.
El Gas es el aire, y el liquido es agua.

[Richard R Richard]

Y por donde le aplicas energía al sistema?

[Richard R Richard]

La diferencia de cotas entre tanques aplicando Bernoulli

$P_{atm}+(h_1-h_2)g\rho_a+\dfrac{v_d^2}2\rho_a=P_2$

$P_2-(h_3-h_2)g\rho_g=P_3$

$P_3-(h_1-h_3)g\rho_a=P_{atm}+\dfrac{v^2}2\rho_a$

sumando las tres igualdades

$(h_1-h_2)g\rho_a+\dfrac{v_d^2}2\rho_a-(h_3-h_2)g\rho_g-(h_1-h_3)g\rho_a=\dfrac{v^2}2\rho_a$

eliminando miembros que no aportan nada

$(h_3-h_2)g\rho_a+\dfrac{v_d^2}2\rho_a-(h_3-h_2)g\rho_g=\dfrac{v^2}2\rho_a$

reordenando

$(h_3-h_2)g(\rho_a-\rho_g)+\dfrac{v_d^2}2\rho_a=\dfrac{v^2}2\rho_a$

Sabiendo que el área de la fuente superior es mucho mayor que el área de los tanques inferiores

$S>>S_i\quad\to\quad v_d\cong 0$

y que la densidad del gas es mucho menor que la del agua

$\rho_a>>\rho_g$

se puede reducir todo a

$(h_3-h_2)g(\rho_a)=\dfrac{v^2}2\rho_a$

el caudal es igual a la velocidad del fluido por la cañería por su sección o a la velocidad de ascenso y descenso en los tanque por el área de los tanques

$Q=vS_c=v_aS_i$

el volumen que entra a un tanque en función del tiempo $V=\dst \int vS_c\dd t$

la altura del tanque en función del tiempo

$h2'=h_2+\frac 12 \dfracV_t{S_i}+\dfrac{\dst \int\limits_0^t vS_c\dd t}{S_i}$

$h2'=h_2+ \dfrac{v_aS_ct}{2S_i}+\dfrac{\dst \int \limits_0^t vS_c\dd t}{S_i}$


$h3'=h_3+\dfrac{v_aS_ct}{2S_i}-\dfrac{\dst \int\limits_0^t vS_c\dd t}{S_i}$

$(h_3'-h_2')g\rho_a=\dfrac{v_a^2}2\rho_a$



$(h_3-h_2-\dfrac{\dst \int\limits_0^t vS_c\dd t}{S_i})=\dfrac{v^2}{2g}$

que tiene toda la pinta de ser una buena ecuación diferencial ,

Creería que puede haber un desarrollo mejor

[oscarmuinhos]

Hola Richard

Confieso que tengo que coger lápiz y papel para refrescar algo de mis pocos conocimientos con la ecuación de Bernouilli y el teorema de continuidad, pero yo vuelvo a tu pregunta del #2

Y por donde le aplicas energía al sistema?

Esto ¿no debería implicar que la ecuación o ecuaciones de la fuente de Herón nos llevaran a una situación límite de velocidad nula?.

Un saludo

[Richard R Richard]

Claro, cuando la integral alcanza numericamente el valor igual la diferencia de alturas entre h3 y h2 la velocidad será nula.
La velocidad va descendiendo exponencialmente llegando en el infinito a alcanzar la asíntota 0.
por eso preguntaba si sabía de dónde salía la energía necesaria para elevar el fluido por encima de la cota superior del fluido.

[oscarmuinhos]

Hola a todas y todos
Hola Richard
Sigo dándole vueltas a lo mismo que decías tú en el mensaje #2....
En algún momento ese flujo de agua tiene que detenerse...por lo tanto en algún momento la velocidad del agua ha de anularse. ¿no es así?
Y entonces...el problema en el que sigo atascado está, ya no en la última ecuación, sino en esta siguiente:

$(h_3-h_2)g(\rho_a)=\dfrac{v^2}2\rho_a$

Despejando de esta ecuación la velocidad $v$ (que es la velocidad con que mana el agua en la fuente?) después de cancelar $\rho_a$:

$v=\sqrt{2g(h_3-h_2)}$

Y aquí me viene el problema...el propio montaje dice que la diferencia de alturas $h_3-h_2$ nunca podrá anularse y, en consecuencia, la velocidad $v$ tampoco podrá anularse nunca?

Yo pensaría en que el problema pueda estar en el aire encerrado entre los recipientes 2 y 3 que es una cantidad de aire constante y cuya presión depende del volumen?, pero....pero mi falta de conocimientos y de pericia y en esto de la dinámica de fluidos es más que infinita....

Saludos

(Y pido a AyemBoyo que, cuando le resuelven este problema en clase, por favor nos ponga la solución)

[Richard R Richard]

Hola oscarmuinhos tu ecuación de bernoulli no es la ecuación diferencial como yo la plantee, y fíjate que cuando se vacíe el tanque intermedio el aire escapara y los dos recipientes terminaron con agua del recipiente superior en el interior, se llenan lo diferencia de cota.

[oscarmuinhos]

Hola Richard
Disculpa Richard, pero verás que mi habilidad con estos problemas de dinámica de fluidos es que es algo más que malísima...

Esta ecuación que sigue es a la que llegas tú antes de introducir las ecuaciones de los caudales.

$(h_3-h_2)g(\rho_a)=\dfrac{v^2}2\rho_a$

Yo simplemente la puse de esta otra forma:

$v=\sqrt{2g(h_3-h_2)}$

Y hasta aquí te sigo...Y, entendiendo que v es la velocidad del agua en el punto 4, es decir la velocidad con que entra el agua en el depósito superior, lo que parece dar a entender es que es el desnivel $h_3-h_2$ quien pone el agua en movimiento.

A partir de aquí te pierdo. En la siguiente ecuación, entiendo que estás calculando la altura (en función del tiempo) que alcanza el agua en el tanque 2?

$h2'=h_2+\frac 12 \dfracV_t{S_i}+\dfrac{\dst \int\limits_0^t vS_c\dd t}{S_i}$

Entiendo que el siguiente término de la ecuación anterior

$\dfrac{\dst \int\limits_0^t vS_c\dd t}{S_i}$

representa el aumento de la altura del agua en el tanque debido al caudal de agua que baja del depósito-fuente siendo $v$ la velocidad del agua a la entrada de la tubería? (y $v$ también la velocidad con que entra el agua en el depósito?)

Pero me pierdo ya queriendo saber de donde viene este otro término que también suma:

$\frac 12 \fracV_t{S_i}$ del cual parece derivar de este otro: $\dfrac{v_aS_ct}{2S_i}$ ??

Saludos y gracias

[Richard R Richard]

Disculpa Oscar, tienes razón , si eran mis palabras, pero no las reconoci tan rápido como debía.
El tema es el siguiente... Por configuración podemos elegir que h3 y h2 sean mayores o menores entre si y mas o menos próximos como se quiera.
Lo que hay que mirar entonces, es que mientras el nivel h2 sube h3 baja, y es posible que por configuración, se igualen mientras el sistema evolucione, ese sería el caso de tiempo asintótico.
Pero también esta el caso en que siempre h3 sea mayor que h2 , en ese caso llegarael monento en que se acaba el aire en el tanque 2 y se acaba en agua en el 3. Allí las ecuaciones cambian, pues el 3 se llena por diferencia de nivel con 1, mientras escapa aire y no agua por el extremo superior de la fuente.
he mezclado nomenclatura, en conexiones estáticas, con dinámicas, y no ha quedado claro, con mas tiempo del que ahora tengo, lo desarrollo mejor.

[oscarmuinhos]

Entendido.
Efectivamente, una vez lleno el tanque 2, faltará el aire para empujar el agua en el tanque 3...pero..
...¿podría subir el agua (vasos comunicantes)? ¿hasta que nivel?
...seguiré pensando en ello
Gracias

[Richard R Richard]

Vuelvo al ruedo , a ver si puedo aclarar mirando de otro modo


La diferencia de cotas entre tanques 1-2 aplicando Bernoulli v con velocidad de superficie nula en el tanque superior $v_d=0$

$$\dfrac{P_{atm}}{g\rho_a} +h_1=\dfrac{v^2}{2g}+\dfrac{P_{2}}{g\rho_a}+h_2$$

entre los tanques 2-3

$$\dfrac{P_{2}}{g\rho_g}+h_2=\dfrac{P_{3}}{g\rho_g}+(h_3)$$

de esto como la densidad del gas respecto de la del agua es muy inferior se puede concluir que $P_2\cong P_3$

La diferencia de cotas entre tanques 1-3 aplicando Bernoulli v con velocidad de superficie nula en el tanque superior $v_d=0$

$$\dfrac{P_{atm}}{g\rho_a} +h_1+\dfrac{v^2}2\rho_a=\dfrac{v^2}{2g}+\dfrac{P_{3}}{g\rho_a}+h_3$$

luego

$$\dfrac{P_{atm}}{g\rho_a} +h_1=+\dfrac{P_{3}}{g\rho_a}+h_3$$

despejando $P_2$ de la ecuación 1 y $P_3$ de la 4 llegamos a

$$(h_1-h_2)-\dfrac{v^2}{2g}=(h_1-h_3)$$

$$(h_3-h_2)=\dfrac{v^2}{2g}$$

si las condiciones iniciales le ponemos nomenclatura en mayúsculas

dinámicamente tenemos que

$$h_2=H_2+\dst \int\limits_0^t\dfrac{ vS_c}{S_i}\dd t$$

y

$$h_3=H_3-\dst \int\limits_0^t\dfrac{ vS_c}{S_i}\dd t$$

reemplazando 7 y 8 en 6

$(H_3-H_2)-2\dst \int\limits_0^t\dfrac{ vS_c}{S_i}\dd t=\dfrac{v^2}{2g}$


si sabemos que el volumen de un taque es $V=\Delta H S_i$ y se sabe que $H_3=H_{o3}+\dfrac{\Delta H}{2}$ y que $H_2=H_{o2}+\dfrac{\Delta H}{2}$

siendo el subíndice o el que indique el mínimo nivel del tanque

entonces esta ecuación es valida mientras $h_3>H_{o3}$ o bien $h_2<H_{o2}$ es decir mientras los tanques no se vaciaron

pero dentro de esos casos es posible tener dos situaciones que $H_{03}< H_{02}+\Delta H$ o bien que $H_{03}>H_{02}+\Delta H$

en el primer caso existirá un punto en que $h_3=h_2$ y la velocidad se hará nula asintóticamente.

en el segundo el agua del deposito 3 se agota, luego se escapa el gas, y luego se llena de agua hasta alcanzara el nivel del depósito 1



El término que cuenta con un 2 viene por la diferencia de nivel se mueve al doble de lo que asciende o desciende cada tanque por separado ,es decir si uno sube 1 cm /s el otro baja 1cm/s la diferencia entre ambos es de 2 cm/s

[oscarmuinhos]

Vuelvo al ruedo , a ver si puedo aclarar mirando de otro modo

A ver si logramos mantener nuestra paciencia para lograrlo.

$$(h_3-h_2)=\dfrac{v^2}{2g}$$

Esta ecuación parece estar bien. Viene a ser como si el agua que entra en el tanque proviniese del 3 a través de un sifón (que pasa por 1). Parece lógico que sea así

si las condiciones iniciales le ponemos nomenclatura en mayúsculas dinámicamente tenemos que

$$h_2=H_2+\dst \int\limits_0^t\dfrac{ vS_c}{S_i}\dd t$$

y

$$h_3=H_3-\dst \int\limits_0^t\dfrac{ vS_c}{S_i}\dd t$$

En estas ecuaciones tengo yo un problema:

En la ecuación (7) la v de la integral es la velocidad con que el agua está entrando en el tanque 2?
En la ecuación (8) la v de la integral sería la velocidad con que el agua sale del tanque 3?
Puede ponerse que estas dos velocidades son iguales?

Un saludo...y paciencia

[Richard R Richard]

En estas ecuaciones tengo yo un problema:

En la ecuación (7) la v de la integral es la velocidad con que el agua está entrando en el tanque 2?
En la ecuación (8) la v de la integral sería la velocidad con que el agua sale del tanque 3?
Puede ponerse que estas dos velocidades son iguales?

Un saludo...y paciencia

Podemos ponernos más tiquismiquis y decir que no, que el gas se comprime y hay una diferencia de velocidad debido a esa variación de volumen, pero numéricamente sería inferior en algunos órdenes a la velocidad de flujo por el conducto

Estimaría que es menor que la influencia que tienen las pérdidas por rozamiento en las tuberías, y otra cosa que también existe es la propia compresibilidad del agua , pero su efecto es aún muchísimo menor...


Otra cosa a considerar es si los diámetros de los tanques son o no iguales, cosa que si dice el enunciado y otra que no dice como cual es el diámetro de las tuberías, que si influye con que las v sean o no iguales ya que por ecuacion de continuidad lo que se conserva es el caudal másico.
Veremos si AyemBoyo regresa por aquí y también nos dice que le ha servido de todo esto...

[oscarmuinhos]

Hola Richard

Habrá que, con paciencia, seguir dándole vueltas, reflexionando...y, digo paciencia, porque, a veces, casi que me resulta desesperante que un mecanismo tan antiguo y sencillo como este, me llegue a dar tanto que pensar...
Y tienes razón, a ver si AyemBoyo pudiera darnos alguna orientación sobre el mismo....Da la impresión que haya dejado su duda totalmente abandonada?

Saludos

[Richard R Richard]

Hola me he dado cuenta que esta la otra ecuación diferencial, la de Torricelli.

$-\dfrac{dV}{dt}=-S_i\dfrac{dh}{dt}=vS_c$

el tema pasa como llegar de una a la otra y viceversa


.para las condiciones iniciales $(H_3-H_2)-2\dst \int\limits_0^t\dfrac{ vS_c}{S_i}\dd t=\dfrac{v^2}{2g}$ la integral es nula
$<br /> (H_3-H_2)-=\dfrac{v^2}{2g}$


y resulta $v=\sqrt{2g(H_3-H_2)}$

luego reemplazando en la primer ecuación

$S_i\dfrac{dh}{dt}=\sqrt{2g(H_3-H_2)}S_c$

dinamicamente

$S_i\dfrac{dh}{dt}=\sqrt{2g(h_3-h_2)}S_c$ *

o bien

$S_i\dfrac{dh}{dt}=\sqrt{2gh}S_c$

que si es una mejor ED que las que presente antes.

se puede resolver por variables separadas para cualquier tipo de perfil de superficie, como en este caso es constante será mas fácil aún.

* la resolución de la ED evita de agregar la integral al desarrollo.