Otras carreras Caída libre con drag

[MarcosLop]

Hola a todos,
Tengo varias dudas con el siguiente problema de mecánica de fluidos. Os dejo el enunciado:

Una pelota de béisbol pesa 145 g y tiene 7.35 cm de diámetro. Se deja caer con velocidad inicial nula desde una torre de 35 m de altura a nivel del mar. Suponiendo que el coeficiente de resistencia corresponde al de flujo laminar, estime (a) la velocidad límite y (b) si alcanzará el 99 por 100 de dicha velocidad antes de llegar al suelo.


Para resolver dicho problema utilizo la aproximación de Blasius para flujo laminar: $C_{D}=\frac{1.328}{Re_{L}^{1/2}}$

Para el drag ($\rho =1.22 \frac{kg}{m^{3}} ; \mu =1.7\cdot 10^{-5}Pa\cdot s$): $F_{D}=0.5\cdot\rho\cdot v^{2}\cdot C_{D}\cdot A$

Ahora, aplicando la segunda ley de Newton: $m\cdot g-F_{D}=m\cdot \frac{dv}{dt}\rightarrow dt=dv\frac{m}{m\cdot g-c\cdot v^{3/2}}$

Primero, entiendo por velocidad límite cuando las fuerzas de gravedad y drag se igualan (resultando aceleración nula), y eso me hace llegar a $v_{limite}=9.67 \frac{m}{s}$

El problema lo acabé planteando en MATLAB para no liarme con integrales, pero el resultado es totalmente incoherente. Dejo el código, uso live script:

---

syms Re Cd v t dt x Fd dv
m = 0.145; D = 7.35e-2; x0 = 35; rho = 1.22; mhu = 1.7e-5; g = 9.81;
Re = rho*v*D/mhu;
A = pi*D^2/4;
Cd = 1.328/Re^0.5;
Fd = 0.5*rho*v^2*Cd*A;
% m*g - Fd = m * (dv/dt); dt = dv * (m/(m*g-Fd))
t = int((m/(m*g-Fd)),v);
dt = diff(t);
% v = dx / dt; v * dt = dx
x = int(v*dt,v);
vf = vpasolve(x==x0,v)

---

Donde obtengo vf = 1030.75 m/s.


Como digo, el resultado es totalmente anormal, y además, a mi parecer el código de MATLAB parece estar bien planteado, por lo que no se a que se debe tal valor (supongo que un error en el planteamiento del problema, o matemático).

Os agradezco vuestra ayuda, llevo un buen rato comprobando todo y no se que esta mal.

Adjunto mi livescript en caso de que lo queráis utilizar (B1_P7.rar).
Un saludo

[Richard R Richard]

Repasemos

$R_e=\dfrac{\rho v D}{\mu}=v \dfrac{1.22 \frac{kg}{m^{3}} 0.0735m }{1.7\cdot 10^{-5}Pa\cdot s}=5274 v$

$C_d=\dfrac{1.328}{\sqrt{5274 v}}=0,01828 v^{-0.5}$

$F_{D}=0.5\cdot\rho\cdot v^{2}\cdot C_{D}\cdot A=F_{D}=0.5\cdot 1.22 \frac{kg}{m^{3}}\cdot v^{2}\cdot 0,01828 v^{-0.5}\cdot \dfrac{\pi 0.0735^2 m^2}{4}=\notcien{4.7325}{-5}v^{1.5}N$

si $F_D=mg$

$\notcien{4.7325}{-5}v^{1.5}N=0.145kg9.80665m/s^2$

$v=\left(\dfrac{0.145\cdot9.80665}{\notcien{4.7325}{-5}}\right)^{\frac23}m/s=966m/s$

que esta mas cerca de lo que dice Mathlab lo errado es 9.67m/s que es una velocidad limite de 35 km/h muy baja para algo que cae en caída libre.


comparando números, fíjate si no has errado en las unidades o si yo lo hice... 9.67 a 966 hay 2 ordenes de diferencia, es quiza un probema de conversión de unidades.

[MarcosLop]

Repasemos

$R_e=\dfrac{\rho v D}{\mu}=v \dfrac{1.22 \frac{kg}{m^{3}} 0.0735m }{1.7\cdot 10^{-5}Pa\cdot s}=5274 v$

$C_d=\dfrac{1.328}{\sqrt{5274 v}}=0,01828 v^{-0.5}$

$F_{D}=0.5\cdot\rho\cdot v^{2}\cdot C_{D}\cdot A=F_{D}=0.5\cdot 1.22 \frac{kg}{m^{3}}\cdot v^{2}\cdot 0,01828 v^{-0.5}\cdot \dfrac{\pi 0.0735^2 m^2}{4}=\notcien{4.7325}{-5}v^{1.5}N$

si $F_D=mg$

$\notcien{4.7325}{-5}v^{1.5}N=0.145kg9.80665m/s^2$

$v=\left(\dfrac{0.145\cdot9.80665}{\notcien{4.7325}{-5}}\right)^{\frac23}m/s=966m/s$

que esta mas cerca de lo que dice Mathlab lo errado es 9.67m/s que es una velocidad limite de 35 km/h muy baja para algo que cae en caída libre.


comparando números, fíjate si no has errado en las unidades o si yo lo hice... 9.67 a 966 hay 2 ordenes de diferencia, es quiza un probema de conversión de unidades.

Cierto tienes razón, la velocidad es de 966 m/s, creo que no tenía un buen día cuando lo hice ya que me pasé un buen rato revisando y no veía el error. De todas formas, me doy de cuenta de que no tiene ningún sentido aplicar la expresión de Blasius para placa plana a una pelota (esfera), asi que decidi tomar un valor medio de 0,5 (como simplificación, ya que no se tiene ninguna expresión de Cd para una esfera, solo valores experimentales graficados).

Un saludo y gracias por tu respuesta

[Richard R Richard]

Hola Marcos, que una bola descienda a casi mach 3 , no es muy realista que digamos, y menos aun si solo cae desde 35 m de altura , como tu eres el que plantea la forma de resolución, no puedo alejarme de ella, pero físicamente es imposible que en 35 m alcance 3500km/h de velocidad de descenso, seguramente si fuera posible ese valor se alcazaría pero descendiendo mucha mas longitud. eso es lo que debes apuntar en le punto b

si realmente quieres hallar una velocidad limite

• No impondría esos 35m de altura sino siempre tocaría el suelo antes de lograr la velocidad terminal,
• El coeficiente de resistencia de flujo laminar no sería aplicable, ya que el numero de Reynolds para velocidades superiores a menos de 1 m/s ya evidencia régimen turbulento
• Usaría la ley de Stokes $F_d=6\pi R\mu v$ para hallar la velocidad terminal de caída como$V_s =\frac{2}{9}\frac{r^2 g (\rho_p - \rho_f)}{\mu}$ donde $\rho_p$' es la densidad de las pelota y $\rho_f$ es la densidad del fluido en este caso aire.
• Evaluaria la velocidad terminal , calcularía el tiempo que le lleva a la gravedad llegar hasta esa velocidad, usaría ese tiempo para calcular la distancia recorrida por la pelota, eso te de la distancia mínima a la que debe hallarse el suelo. que seguramente es mucho mayor si el rozamiento del aire ralentiza la aceleración

[JCB]

Hola a tod@s.

He encontrado una expresión basada en la fuerza de arrastre de Rayleigh. Creo que es la adecuada, pues tiene la consideración de que, en un flujo turbulento, la fuerza de resistencia ya no depende de la viscosidad del fluido.

$v_\infty=\sqrt{\dfrac{2P}{\rho AC_d}}$. Siendo:

$P=$peso del objeto$=1,421\ N$,

$\rho=$densidad del fluido$=1,22\ kg/m^3$,

$A=$sección transversal del objeto$=0,04243\ m^2$,

$C_d=$coeficiente de resistencia aerodinámica. Considero $C_d=0,5$ para una esfera.

$v_\infty=33,14\ m/s=119,29\ km/h$.

Saludos cordiales,
JCB.

[MarcosLop]

Hola Marcos, que una bola descienda a casi mach 3 , no es muy realista que digamos, y menos aun si solo cae desde 35 m de altura , como tu eres el que plantea la forma de resolución, no puedo alejarme de ella, pero físicamente es imposible que en 35 m alcance 3500km/h de velocidad de descenso, seguramente si fuera posible ese valor se alcazaría pero descendiendo mucha mas longitud. eso es lo que debes apuntar en le punto b

si realmente quieres hallar una velocidad limite

• No impondría esos 35m de altura sino siempre tocaría el suelo antes de lograr la velocidad terminal,
• El coeficiente de resistencia de flujo laminar no sería aplicable, ya que el numero de Reynolds para velocidades superiores a menos de 1 m/s ya evidencia régimen turbulento
• Usaría la ley de Stokes $F_d=6\pi R\mu v$ para hallar la velocidad terminal de caída como$V_s =\frac{2}{9}\frac{r^2 g (\rho_p - \rho_f)}{\mu}$ donde $\rho_p$' es la densidad de las pelota y $\rho_f$ es la densidad del fluido en este caso aire.
• Evaluaria la velocidad terminal , calcularía el tiempo que le lleva a la gravedad llegar hasta esa velocidad, usaría ese tiempo para calcular la distancia recorrida por la pelota, eso te de la distancia mínima a la que debe hallarse el suelo. que seguramente es mucho mayor si el rozamiento del aire ralentiza la aceleración

Hola y gracias por tu respuesta.

Estoy contigo en todo lo que dices, menos en lo de usar la Ley de Stokes, ya que esta se usa cuando Re<<1, hipótesis completamente inválida para este problema.

Un saludo

[MarcosLop]

Hola a tod@s.

He encontrado una expresión basada en la fuerza de arrastre de Rayleigh. Creo que es la adecuada, pues tiene la consideración de que, en un flujo turbulento, la fuerza de resistencia ya no depende de la viscosidad del fluido.

$v_\infty=\sqrt{\dfrac{2P}{\rho AC_d}}$. Siendo:

$P=$peso del objeto$=1,421\ N$,

$\rho=$densidad del fluido$=1,22\ kg/m^3$,

$A=$sección transversal del objeto$=0,04243\ m^2$,

$C_d=$coeficiente de resistencia aerodinámica. Considero $C_d=0,5$ para una esfera.

$v_\infty=33,14\ m/s=119,29\ km/h$.

Saludos cordiales,
JCB.

Gracias por tu respuesta. La solución es correcta con esas hipótesis, que como digo en mensajes anteriores parece apropiada.
Faltaría hallar el segundo apartado, el cuál me da una solución planteando integrales de velocidad final a los 35 m de 33,162 m/s lo cual no es nada coherente (mayor que la velocidad límite).

Sin embargo lo que me preocupa ahora es lo siguiente:

El caso es que este ejercicio lo planteamos en clase, pero el profesor lo planteo rápido (a parte de que no sabe escribir) y tengo el problema copiado a medias. La cosa es que considera algo que llama flotabilidad F, y lo introduce en el sumatorio de fuerzas quedando de la siguiente manera:

$W-F-F_{D}=\frac{W}{g}\frac{dv}{dt}$

Donde W es el peso y F la flotabilidad. Además:

$W-F=\rho (s-1)g\frac{\pi}{6}D^{3}$

Donde s es la densidad relativa (no estoy seguro que es el subíndice s de la densidad):

$s=\frac{\rho_{s}}{\rho}<br />$

Quisiera saber como llegar a estos términos, y que es la flotabilidad.

Gracias y un saludo

PD.: La velocidad limite que el calcula es de 34,1 m/s

[JCB]

Hola a tod@s.

1) MarcosLop, se trata del empuje de Arquímedes, $E=\rho Vg$. Si lo introduces y calculas la velocidad terminal (adquirida cuando las fuerzas presentes se igualan),

$F_D+E-P=0$,

$\dfrac{1}{2}\rho AC_dv_\infty^2+\rho Vg-P=0$,

$v_\infty=\sqrt{\dfrac{2(P-\rho Vg)}{\rho AC_d}}=33,11\ m/s=119,19\ km/h$. Resulta ser algo menor que la calculada en el mensaje # 5.


2) Para hallar la velocidad en función de la distancia de caída, plantearía:

$F_D+E-P=-ma$,

Llamando $b=\dfrac{1}{2}\rho AC_d\ (cte.)$ y $c=E-P\ (cte.)$,

$bv^2+c=-ma=-m\dfrac{dv}{dt}=-m\dfrac{dv}{dy}\dfrac{dy}{dt}=-m\dfrac{dv}{dy}v$,

$-dy=\dfrac{mvdv}{bv^2+c}$, e integrando, he llegado a

$v=\sqrt{\dfrac{c}{b}\left(e^{\dfrac{-2by}{m}}-1\right)}$.

Notas:
Para valores de $y$ muy grandes, coincide con la velocidad terminal anteriormente hallada, $v_\infty=33,11\ m/s$.
Para $y=35\ m$, $v=22,57\ m/s$.

Saludos cordiales,
JCB.

[MarcosLop]

De nuevo, gracias por tu respuesta. Coincido con tu planteamiento, gracias por sacarme de dudas. Recuerdo que esto lo dábamos en Física II, he de volver a aprobar la asignatura xD
Un saludo