Planeta de agua

[DrWill]

Imagínense un planeta del tamaño de la Tierra pero formado solamente por H2O.
Con una temperatura de unos agradables 20 grados Celsius uniformes.
Cómo sería el estado de la materia conforme nos vamos acercando al centro de ese planeta?
Imagino que la gravedad sería algo menor. Ese planeta constaría de una atmósfera de vapor de agua hasta llegar a la superficie de un océano infinito.
Pero, para mi lo curioso y si no me equivoco, es que en la proximidad del centro del planeta la gravedad sería cero. Cuál sería la presión en el centro? Se evaporaría el agua en el centro?

Un saludo

[arivasm]

Mensaje editado, para corregir algunos errores, sobre todo numéricos, y que afectan a la conclusión final.

Admitamos que el agua es incompresible, de manera que la densidad fuese uniforme, $\rho = 1000 {\rm kg/m^3}$. En primer lugar, la masa del planeta sería $M = \frac{4}{3}\pi\rho R^3=\notcien{1,1}{24}{\rm kg}$, es decir, casi seis veces menor. Por tanto, la gravedad superficial también lo sería, 1,8 m/s², un valor bastante próximo al de la Luna.

Una consecuencia es que la atmósfera sería bastante más extensa. Pero además, como la velocidad de escape superficial sería menor, 4,7 km/s, la pérdida de la atmósfera sería bastante más rápida que la actual (favorecida además por la menor masa molecular). Por tanto, estaríamos ante un planeta que se evaporaría con relativa rapidez.

Pero vayamos al centro. No tenemos más que aplicar la ecuación fundamental de la estática de fluidos, $\dd p=-\rho g \dd r$. Como la gravedad crecería linealmente con la distancia al centro, $g(r)=\frac{4}{3}\pi G\rho r$, tenemos que $\dd p=-\frac{4}{3}\pi G\rho^2 r\dd r$. Integrando entre el centro y la superficie tenemos que $p_0=p_{sup}+\frac{2}{3}\pi G \rho^2 R^2$. Por tanto, situando la presión en la superficie, debida a la atmósfera, en los 4000 Pa (el valor que corresponde a 20ºC al equilibrio con el vapor), el valor en el centro sería $p_0=\notcien{5,7}{9}{\rm Pa}=56000\ {\rm atm}$.

Como podemos ver en el diagrama del agua, en el rango de presiones que va de los 4 kPa hasta aproximadamente 1GPa a 20ºC el estado será líquido.

En definitiva, me da la sensación de que tendremos una enorme gota líquida (que, como dije, se evapora con relativa rapidez) con un núcleo sólido.

[Richard R Richard]

Sobre los valores numéricos , que no revise, me llama la atención que solo sean 7 atm en el centro, ...si hay menos gravedad, tendríamos si esta cae a 1/6 que cada 60m la presión del agua suma 1 atm luego en 500 m de profundidad ya se alcanzarse ese valor.

[arivasm]

Gracias, Richard. He revisado los valores numéricos y efectivamente son incorrectos. Modifico el mensaje.

[JCB]

Hola a tod@s.

Que interesante tu comentario, arivasm .

Voy a leerlo con detenimiento para intentar entenderlo.

Ahora, y pensando en la rotación, ¿ qué efecto tendría ?. Al tratarse de una masa líquida, ¿ se conservaría la esfericidad ?.

Gracias y saludos cordiales,

JCB.

[arivasm]

Ahora, y pensando en la rotación, ¿ qué efecto tendría ?. Al tratarse de una masa líquida, ¿ se conservaría la esfericidad ?.

Entiendo que no. Conduciría a un elipsoide. Quizá la manera más sencilla de demostrarlo sería tomar en consideración la gravedad aparente (es decir, incluyendo el término debido a la rotación) y manejar la superficie como una equipotencial, correspondiente al potencial gravitatorio aparente.

A todo esto, espero no haberme equivocado con los cálculos, sobre todo con los numéricos!

Saludos y salud!

[Richard R Richard]

Creo correctos los cálculos(numéricamente,deberían ser mucho mayores en varios ordenes 26000 atm creo) y la justificación lógica de Arivasm si el planeta fuese siempre líquido...

jugandole respetuosamente al tiquismiquis, yo creo pasaría algo diferente si este fuera un planeta con solo agua como componente principal.

• La luz del sol al incidir sobre el vapor por encima de la superficie, le dará mayor energía cinética a sus moléculas,alcanzando velocidad de escape, luego terminará del vapor buena parte de la fuera de la atracción gravitatoria, y este vapor se esparcirá por el espacio, quizá dejando una estela visible como los cometas, alrededor del sol creándose a la larga un anillo de hielo, al enfriarse el vapor, y chocar consigo mismo, órbita tras órbita.
• Al escaparse el vapor, la presión atmosférica (o de vapor) disminuye, luego el agua ebulle con mayor facilidad a bajas temperaturas.
• El vapor que se genera , extrae calor de la superficie, luego la superficie se enfría.
• Llegara el punto donde la superficie se congela. Este proceso es imparable ya que al no haber gases de efecto invernadero, la temperatura del espacio cerca de la superficie del hielo será el mismo que el del espacio exterior.
• El hielo de la superficie refleja la luz solar, absorbiendo menos cantidad, por incremento del albedo, luego será inferior la cantidad de vapor que sublime, este proceso seguirá extrayendo calor de la superficie,hasta congelar todo el planeta hasta el centro..
• Poniendonos más rigurosos, si la Luna con su misma masa orbitara este planeta, su órbita sería mas cercana , el derrotero alrededor del sol sería más caótico y los efectos de marea, serían mucho más intensos. se crearían grietas y fracturas en la superficie mientras se congela donde saldría eyectada agua a grandes alturas como Geiseres, ya que el movimiento de placas de hielo genera fricción y altas temperaturas dentro de las grietas.
• El efecto de la rotación sería mas pronunciado, sobre la forma del planeta porque sería este menos denso, y con menos gravedad, luego las 3 cm/s^2 de centripeta extra en el ecuador achataran los polos e incrementaran el radio ecuatorial.

Nada será muy distinto a lo que se haya visto en Encelado https://es.wikipedia.org/wiki/Enc%C3...sat%C3%A9lite) aunque en esta pequeña luna, la distancia al sol es mucho mayor.

[DrWill]

Hola Richard,

gracias por tus comentarios. Solo me gustaría replicar a uno de ellos. El agua sí es un gas invernadero. De hecho, el gas invernadero que más contribuye a guardar el calor en nuestro planeta es el vapor de agua.

Un saludo!

[Richard R Richard]

Hola DrWill, si bien ese debate lo podemos tener en otro hilo, No estamos muy preocupados actualmente porque el calentamiento global se deba a que haya mas nubes de vapor de agua en la atmósfera sino por la emisión de gases con enlaces covalentes polares, $CO,CO_2,NO_2$. (si bien las tormentas serían mas fuertes) Hace 3000M de años la superficie era todo agua, a"20°c" pero no se evaporo fluyendo al espacio debido a que hay mayor velocidad de escape. Pero entiendo que sin esos otros gases mas pesados las moléculas de agua tienen mas probabilidades de escapar.

[JCB]

Hola a tod@s.

Lo que no acababa de entender, arivasm, es que la gravedad variase linealmente con la distancia al centro de la Tierra. Finalmente he visto (buscando en internet) que aplicando la ley de Gauss al campo gravitatorio

$\dst\oint_{S}\vec{g}\vec{dS}=-4\pi GM_{int}$,

se llegaba a la expresión de la gravedad $g(r)=\dfrac{4}{3}\pi G\rho r$, que has escrito.

Gracias otra vez y salud para tod@s,
JCB.

[Alriga]

... Lo que no acababa de entender, arivasm, es que la gravedad variase linealmente con la distancia al centro de la Tierra. Finalmente he visto (buscando en internet) que aplicando la ley de Gauss al campo gravitatorio

$\dst\oint_{S}\vec{g}\vec{dS}=-4\pi GM_{int}$,

se llegaba a la expresión de la gravedad $g(r)=\dfrac{4}{3}\pi G\rho r$, que has escrito ...

Hola JCB, observa que hay una demostración sencilla ("de bachillerato") sin necesidad de conocer el Teorema de Gauss ni hacer integrales:

$F=m g=G\dfrac {M m}{r^2}=m \left (G\dfrac M{r^2}\right )$

$g(r)=G\dfrac{M(r)}{r^2}=G\dfrac{\rho \dfrac 4 3 \pi r^3}{r^2}=\dfrac 4 3 \pi G \rho r$

Saludos.

EDITADO: Hola JCB, nota que sí la conocías, solo que no has caído. Observa que solo hay que aplicar la segunda ley de Newton a la Ley de Gravitación Universal, y calcular la masa de una esfera en función de su volumen y su densidad, he editado el post para que se vea mejor.
Saludos.

[JCB]

Genial, Alriga. O no la conocía, o bien no me acordaba.

[Alriga]

Integrando entre el centro y la superficie tenemos que $p_0=p_{sup}+\frac{2}{3}G \rho^2 R^2$. Por tanto, situando la presión en la superficie, debida a la atmósfera, en los 4000 Pa (el valor que corresponde a 20ºC al equilibrio con el vapor), el valor en el centro sería $p_0=\notcien{7,3}{5}{\rm Pa}=7,2\ {\rm atm}$.

Creo que en la fórmula falta un $\pi$ y se ha escurrido algún error de cálculo:

$p_0=p_{sup}+\dfrac{2}{3}G \pi \rho^2 R^2=4000+\dfrac 2 3 6.6741\cdot 10^{-11} \cdot \pi \cdot 1000^2 \cdot 6378000^2=5.69\cdot 10^9 \ Pa=56118 \ atm$

Según el gráfico que adjuntas, a esa presión y 20ºC el núcleo sería sólido.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Eso es, Alriga, conocía a $g=\dfrac{GM}{r^2}$. Simplemente un comentario que podría resultar algo anodino: escrita así, parece que la gravedad en el centro de la Tierra ($r=0$), tenga que ser $\infty$. Aunque luego, si introduces el volumen, se comprueba que el numerador converge más rápidamente a 0 (por el $r^3$), que el denominador (por el $r^2$).

Saludos cordiales,
JCB.

[arivasm]

Veréis que he editado el mensaje. Ciertamente habrá un núcleo sólido. Gracias a Richard y a Alriga.

Por cierto, sería interesante modelizar la atmósfera y calcular la presión superficial, aunque está claro que ésta será despreciable frente a la existente en el núcleo. Igualmente, sería necesario corregir el modelo e incluir la diferente densidad de éste. Claro que, puestos a refinar, un cambio importantísimo sería considerar una temperatura variable, pero eso, además de superarme, sale fuera de la intención de la pregunta original.

[Alriga]

… Veréis que he editado el mensaje. Ciertamente habrá un núcleo sólido. Gracias a Richard y a Alriga ...

Hombre, principalmente gracias a ti, que has hecho el desarrollo y has adjuntado el gráfico p=p(T)

... Una consecuencia es que la atmósfera sería bastante más extensa. Pero además, como la velocidad de escape superficial sería menor, 4,7 km/s, la pérdida de la atmósfera sería bastante más rápida que la actual ...

En efecto, la velocidad de escape en la superficie del planeta es la que dices:

$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}R}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 6.6741\cdot 10^{-11} \cdot 1.09\cdot 10^{24}}{6378000}}=4769 \ m/s$

Podemos evaluar la velocidad cuadrática media de las moléculas de vapor de agua de la atmósfera a partir de su energía cinética media a 20ºC = 293.15 K. Si “m” es la masa de la molécula de agua:

$\dfrac 1 2 m \bar v^2=\dfrac 3 2 k_B T$

$\bar v=\sqrt{\dfrac{3k_B T}m}$

$\bar v=\sqrt{\dfrac{3\cdot 1.38\cdot 10^{-23}\cdot 293.15}{3\cdot 10{-26}}}=636 \ m/s$

Vemos que es menor que una séptima parte de la velocidad de escape. Como las velocidades de las moléculas de vapor de agua, supuestas gas ideal, siguen la ley de Maxwell-Boltzmann:

$f(v) = 4\pi \left(\dfrac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}}v^2 \cdot \exp \left (\dfrac{-m}{2k_B T} v^2 \right )$

Podemos calcular la fracción de moléculas de vapor de agua de la atmósfera que superarán la velocidad de escape:

$\dst F(v>4769) =\int_{4769}^{\infty} 4\pi \left(\dfrac{m}{2\pi k_B T}\right)^{\frac{3}{2}}v^2 \cdot \exp \left (\dfrac{-m}{2k_B T} v^2 \right )$

Poniendo números, si no me equivoco

$\dst F(v>4769) =\int_{4769}^{\infty} 1.6095\cdot 10^{-8} \ v^2 \cdot \exp \left (-3.7052\cdot 10^{-6} \ v^2\right )=2.6\cdot 10^{-36}$

Es una fracción pequeñísima, muchísimo menor que la que yo esperaba encontrar.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola Alriga, indiscutibles tus cálculos, pero como cambia la energía cinética media de la molécula al ser impactada directamente, por un fotón de. 5800K proveniente de la fotosfera solar?
Para mi todo el vapor termina escapando, los 20°c son imposibles de sostener en el tiempo,
Si evaluamos indice de absorción en toda la superficie,podemos saber la energía que gana y con la perdida por radiación al espacio, se obtiene la temperatura de equilibrio que esta muy por debajo del cero centígrado.
Si por el contrario en esas condiciones podría existir una atmósfera de vapor, ya que el 99.99 (con 32 ceros mas) por ciento no se escapa, seria visible a simple vista , eso no pasa en la superficie de Encelado. Como su superficie esta a 75K no a 293K tiene una velocidad media mayor a la de escape, 239m/s, así no vemos nubes , pero si el vapor de sus criovolcanes, la mayor parte de este vapor no regresa a la superficie.

[Alriga]

Simplemente he sido respetuoso con el enunciado de quien origina el hilo:

Imagínense un planeta del tamaño de la Tierra pero formado solamente por H2O.
Con una temperatura de unos agradables 20 grados Celsius uniformes...

Y creo que desde el respeto a ese “imaginario” planeta del enunciado, arivasm y yo hemos hecho aportaciones que ilustran leyes físicas interesantes y que pueden ser de inspiración a los lectores del hilo para usarlos/aplicarlos a otros problemas similares.

Que la atmósfera de vapor de agua de este imaginario planeta sea golpeada por fotones de 5800 K no forma parte del enunciado, ya que éste no dice si gira en torno a una estrella amarilla de tipo G o en tono a una enana roja de 2500 K o en torno a lo que sea que consigue que tenga una temperatura uniforme de 20ºC

Si te interesa irte fuera del enunciado para negar que la temperatura sea uniforme de 20ºC, tal vez lo mejor es que abras otro hilo. Y ya que cambiamos el enunciado, si nos ponemos con imposibles, tal vez lo primero sería decir que la existencia de un tal planeta del tamaño de la Tierra compuesto exclusivamente de agua es imposible dentro de la astrofísica conocida, pues no se concibe como en una nube protoplanetaria se conseguiría la acreción exclusiva de tal volumen de agua, segregada de cualquier otro material.

Saludos.

[Richard R Richard]

A ha ,ahora veo de donde sale ese 20°c

[Richard R Richard]

Imagínense un planeta del tamaño de la Tierra pero formado solamente por H2O.

Mi imaginario responde a situar el planeta imaginario en la misma situación, que el Planeta Tierra.. Con las mismas leyes físicas, la constante de gravedad universal, mareas, que orbita y es orbitado, etc.

Aclaro esto porque parece que no se entendió bien la frase "jugandole respetuosamente al tiquismiquis, "

Solo cuando encontramos el límite a la imaginación comprendemos la física detrás del fenómeno. En mi punto de vista tal situación es imposible se de en la práctica, y no se trata de extender o delirar , si no que para tener 20°c en superficie o en toda la masa hay cientos de factores mas influyendo aparte de la masa , la densidad,las leyes de la gravitación universal, y las propiedades físicas del agua.

Ya han explicado,que según las propiedades del agua el núcleo debe ser hielo sólido, para solidificar el calor de fusión se disipa al resto del planeta que tiene la presión suficiente para solidificar, alli se crea vapor en gran cantidad, creando una "Atmosfera de vapor"

Lo que digo es que la luz del Sol en ese hipotético caso, no llega a la superficie, es absorbida por el vapor y reflejada, en definitiva desde el centro hasta la superficie y desde la superficie al centro se ira haciendo un planeta de hielo., pues perderá energía al irradiarla al espacio por radiación térmica debido a que tiene temperatura fuera de equilibrio con el espacio exterior.

Los 20°c son entonces un caso hipotético improbable, o bien una situación momentánea en la vida del planeta, pero nunca una situación de equilibrio en el tiempo, si halla un planeta cercano a ó 100% agua será de hielo, se pueda formar o no teóricamente por acreción de los restos de una estrella, puede ser tema de otro debate..

Un planeta tiene que tener un equilibrio termodinámico con su entorno. la tierra conserva el agua líquida porque tiene una atmosfera 99% $O_2 \ y \ N_2$ que permite que se difundan los gases de efecto invernadero que son una pequeña cantidad respecto a estos otros.