1r ciclo Tensión Superficial

[The Higgs Particle]

El profesor nos ha puesto en la pizarra dos ecuaciones:

$U_{sup} = \gamma S$

y

$F_{sup} = - \nabla U_{sup}$


$U_{sup}$ es la energía potencial en la superficie del líquido, $\gamma$ es el coeficiente de tensión superficial, $S$ es la superficie del líquido y $F_{sup}$ es la fuerza provocada por la tensión superficial.



Al mismo tiempo, he visto en el libro que $F_{sup} = - 2 l \cdot \gamma$, y es a la que he intentado llegar a partir de las dos ecuaciones que nos ha puesto el profesor.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si $\vec S = l^2 \cdot \vec u_N$ y, además, suponemos que $\vec u_N$ $||$ $\hat{\jmath} \to$ $U_{sup} = \gamma \cdot l^2 (\hat{\jmath} )$

Así:

$F_{sup} = - \gamma \cdot \frac{\partial l^2}{\partial y} \to \boxed{F_{sup} = - \gamma 2l}$


¿Es correcto?

[arivasm]

Re: Tensión Superficial

Yo lo encuentro correcto. De todos modos, hay algo que me suena raro. Lo pienso un poco más...

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No me encaja el 2. Por fijar ideas, pensemos en una superficie rectangular, de lados $x$ e $y$ (orientada en el plano XY). La tensión superficial es la energía por unidad de superficie, de manera que $U=\gamma x y$. Si aplicamos el gradiente tenemos que $\vec F = -\gamma (y,x,0)$... Nada que ver con la famosa $F=2\gamma l$

Busco por internet y veo el siguiente enfoque. Pensemos en un líquido de superficie cuadrada $S=l^2$ y que está en el plano XY. Para aumentar dicha superficie aumentando un lado una distancia $\dd x$ mientras se mantiene la longitud del otro debemos hacer un trabajo $F\dd x=\dd U$. Como la superficie ha aumentado en $l\dd x$ la energía potencial ha aumentado $\gamma l \dd x$. De esa manera deberíamos obtener $F=\gamma l$ en vez de $2\gamma l$.

Como ves, en vez de resolverte la duda yo me sumo a la duda: ¿por qué diablos hay un 2 en la expresión de la fuerza debida a la tensión superficial?

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Creo que ya he visto de dónde sale el 2. Si he entendido bien lo que he leído aquí, debemos tener claro cómo hacemos la medida de la tensión superficial. Un método consiste en introducir una pieza en forma de U invertida y determinar la fuerza que se hace para contrarrestar la de tensión superficial:

Entonces el 2 es obvio: estamos aumentando la superficie en las *dos* caras del rectángulo que emerge del líquido. A cada una le corresponde una fuerza hacia abajo $\gamma L$, y es por ello que la fuerza que medimos es $2\gamma L$

Así pues, si estoy en lo cierto, lo que has escrito no es correcto.

[The Higgs Particle]

Re: Tensión Superficial

¿Cómo concilio entonces las dos ecuaciones que me ha dado mi profesor con la del libro?

[alexpglez]

Re: Tensión Superficial

Perdona Arivasm, no entiendo nada. El enlace que indicas tampoco se entiende muy bien. De todas formas veo que es un poco limitada la fórmula que ofrece the Higgs Particle, ya que parece que al aplicar el gradiente, devuelve lo que has expresado: $\vec F= - \gamma x \vec \imath - \gamma y \vec \jmath$, sale entonces que se compone de una fuerza en el eje x y otra en el y, y el sentido....
Por otra parte acabo de leer en wikipedia:

$$\gamma=\frac{F}{2L}=\frac{F\Delta x}{2L \Delta x}=\frac{W}{\Delta A}$$

Dónde el área: $\Delta A=2L \Delta x$ "(the factor of 2 is here because the liquid has two sides, two surfaces)"

Quizá es una tontería, pero no entiendo lo que quiere decir ese paréntesis. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_tension

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A no ser claro que (imaginando un prisma de base rectangular), se refiera a aumentar la base superior e inferior. De ahí que: $\Delta A_{sup}=\Delta A_{inf}=L\Delta x$, y por tanto $\Delta A=\Delta A_{sup} + \Delta A_{inf}=2L\Delta x$
Aunque veo un poco complicado el análisis vectorial de la fuerza misma.
Por otra parte entiendo que esto que expone wikipedia sería equivalente, en un prisma, a aumentar x, dejando $y=L$.
Y al menos para mí, deja de ser entendible esta definición de tensión superficial para cualquier otro tipo de volumen que no sea con forma de prima en el que solo se aumenta un lado...

[saturno]

Re: Tensión Superficial

Quizá es una tontería, pero no entiendo lo que quiere decir ese paréntesis.

Pues tal cual se entiende, la superfície de arriba y la de abajo de la misma "membrana". O almenos así lo he tenido entendido toda la vida.

[arivasm]

Re: Tensión Superficial

Sería el segundo enfoque que puse antes: la tensión superficial es la energía potencial por unidad de superficie, es decir $U=\gamma S$. Ahora pensemos en una deformación de esta última, consistente en estirarla en cierta dirección que, por sencillez tomaremos con dirección X. Si la superficie original era $S=x\cdot l$, con lo que la energía potencial es $U=\gamma l x$ la fuerza restauradora que ejerce el líquido será $\vec F=-\vec\nabla U=-\gamma l \vec\imath$ (donde $-\vec\imath$ simplemente nos informa que la fuerza es de sentido opuesto a la deformación). En términos de módulo, tenemos que $F=\gamma l$.

Ahora bien, ¿cómo podemos conseguir esa deformación de la superficie "estirándola"?. Si, por ejemplo, sitúo un objeto tocando la superficie y trato de despegarlo de ésta, como sucede en este otro procedimiento para medir la tensión superficial (aquí sería $l=2\pi r$)

el aro estira el líquido por *dos* sitios: su interior y su exterior. Y por ese motivo la fuerza restauradora que ejerce el líquido será $F=2\gamma l$.

Fíjate que ese 2 se producirá siempre que tengamos un objeto deformando la superficie. Por ejemplo, en este caso

la situación es parecida a esto:

donde cada una de las $F_s$ vale $\gamma l$, lo que equivale, si podemos despreciar el ángulo entre ellas, a $2\gamma l$

[The Higgs Particle]

Re: Tensión Superficial

Hoy el profesor me ha aclarado esto, aunque como dices, Arivasm, el 2 se debe a eso (magnífica tu explicación, por cierto ).

Si tenemos $U_{sup} = \gamma S$, $S$ debe estar compuesto por un lado fijo $(l)$ y uno móvil (por ejemplo, $x$). Por ello, la superficie total en contacto con el líquido es $S =2lx$

Así: $U_{sup} = \gamma \cdot 2 lx$.

Entonces, como es una energía pontencial, se cumple que $F_{sup} = - \nabla U_{sup}$

$F_{sup} = - (\frac{\partial U_{sup}}{\partial x}, \frac{\partial U_{sup}}{\partial y}, \frac{\partial U_{sup}}{\partial z} )$

Como sólo variamos la $x$, podemos poner derivada absoluta en vez de derivada parcial:

$F_{sup} = - 2 \gamma l \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x} \to \boxed{F_{sup} = -2 \gamma l}$

c.q.d.