Otras carreras Fuerza del Fluido, Equilibrio.

[FrankBn]

Buenas, Necesito saber como puedo demostrar el siguiente problema. Se que debo trabajar con equilibrio mediante el momento de torsión y la fuerza que ejerce el agua mediante la integral de la presión por el área, pero no he podido encontrar una forma de como expresar todo en una sola variable.

Se tiene una compuerta de masa despreciable, la compuerta gira con respecto a un punto a 15 metros de altura , la compuerta tiene un calzo(Obstaculo) en la parte inferior para que esta no gire por la fuerza del agua.

Determine a que altura el agua hará girar la compuerta hacia sentido horario.

La masa de la compuerta es despreciable.

El resultado es 45m (osea 3 veces la altura del punto donde gira)

[Richard R Richard]

Re: Fuerza del Fluido, Equilibrio.

Hola lo que tienes que hallar es un equilibrio de fuerzas y momentos provocado por el empuje del fluido sobre la compuerta entre la parte superior e inferior a pivotes

Hallas los centros de empujes de ambas partes la superior y la inferior e igualas momentos

$C_e=\dfrac{\dst\int_{h_o}^{h_f} h\cdot <br /> E_{(h)} \dd h}{\dst\int_{h_o}^{h_f} E_{(h)} \dd h}<br />$

la fuerza sobre cada parte es

$E=\dst\int_{h_o}^{h_f} \gamma \dd h$

debes suponer que el area donde se aplica la presión es $l.(h_f-h_o)$ por lo que el calculo se independiza del ancho $l$ de la compuerta

[visitante20160513]

Re: Fuerza del Fluido, Equilibrio.

Pues fácil, debido a que el agua situada bajo el punto de giro empuja la compuerta en el sentido de cierre y la parte del agua situada por encima lo hace en el sentido de apertura es necesario calcular el momento de giro generado por la presión del agua. Como sabemos que la presión depende de la profundidad podemos establecer que el momento total será la suma de los momentos de cada una de las acciones elementales generadas por la presión. El momento generado por el agua bajo el punto de giro será opuesto al momento generado por el agua sobre dicho punto. En el instante en que ambos momentos se igualen la compuerta se encontrara a punto de iniciar el giro. Si el agua sigue subiendo la compuerta basculará.

Salu2, Jabato.

[Al2000]

Re: Fuerza del Fluido, Equilibrio.

...pero no he podido encontrar una forma de como expresar todo en una sola variable.
...

Hazlo paso por paso. Si llamas $h$ la altura del agua, la presión a la altura $y$ sobre el fondo vale

$$P = \rho g (h-y)$$

La fuerza que ejerce el agua sobre una "tira" horizontal de la compuerta, de ancho $w$ y altura $dy$, vale

$$dF = P w\, dy = \rho g w (h-y)\, dy$$

Esta fuerza es perpendicular a la compuerta y hace un torque

$$d \tau = (h_p - y)\, dF = \rho g w (h_p - y)(h-y)\, dy$$

donde he llamado $h_p$ la altura sobre el fondo del pivote. El torque total vale

$$\tau = \int_{y=0}^{y=h}\!\! d \tau = \frac 1 2 \rho g w h^2 \left (h_p - \frac 1 3 h \right )$$

y para que este torque sea cero (compuerta a punto de bascular), debe cumplirse que

$$\boxed {h = 3 h_p}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[FrankBn]

Re: Fuerza del Fluido, Equilibrio.

Hazlo paso por paso. Si llamas $h$ la altura del agua, la presión a la altura $y$ sobre el fondo vale

$$P = \rho g (h-y)$$

La fuerza que ejerce el agua sobre una "tira" horizontal de la compuerta, de ancho $w$ y altura $dy$, vale

$$dF = P w\, dy = \rho g w (h-y)\, dy$$

Esta fuerza es perpendicular a la compuerta y hace un torque

$$d \tau = (h_p - y)\, dF = \rho g w (h_p - y)(h-y)\, dy$$

donde he llamado $h_p$ la altura sobre el fondo del pivote. El torque total vale

$$\tau = \int_{y=0}^{y=h}\!\! d \tau = \frac 1 2 \rho g w h^2 \left (h_p - \frac 1 3 h \right )$$

y para que este torque sea cero (compuerta a punto de bascular), debe cumplirse que

$$\boxed {h = 3 h_p}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Buenas, trate de seguir esos pasos realizando el ejercicio con los datos, el torque total es el torque que realiza el agua a la compuerta, entonces el torque que realiza el obstaculo que tiene en la parte inferior es ese mismo torque según sube la altura del agua?

Osea debo realizar la sumatoria de torque igual a cero y tratar de despejar la h desde esta ecuación?

[Richard R Richard]

Re: Fuerza del Fluido, Equilibrio.

Si haces que el centro de empuje pase por el perno de pivote, tienes garantizado que la suma de momentos inferior sea igual a la suma de momentos inferior

$C_e=\dfrac{\dst\int_{h_o}^{h_f} h\cdot <br /> E_{(h)} \dd h}{\dst\int_{h_o}^{h_f} E_{(h)} \dd h}<br />$


si llamamos $h_p$ a la distancia entre el fondo y el perno pivote entonces $h_p=15 m$

$$C_e=h_f-h_p$$

y la integral sera

$$C_e=\dfrac{\dst\int_{h_o}^{h_f} h\cdot <br /> E_{(h)} \dd h}{\dst\int_{h_o}^{h_f} E_{(h)} \dd h}=\dfrac{\dst\int_{0}^{h_f} <br /> h^2\gamma \dd h}{\dst\int_{0}^{h_f} h\gamma \dd h}=\dfrac{\dfrac{h_f^3}3}{\dfrac{h_f^2}{2}}=\frac 23 h_f$$

luego igualando la ecuacion (1) con la (2) $h_f-h_p=\frac 23 h_f$

$h_f=3h_p= 45 m$