alabe fijo y fluido con y sin viscosidad

[Daniel Caceres]

Hola!, podrían ayudarme con este ejercicio, la verdad tengo problemas cuando uso las ecuaciones de continuidad. de antemano muchas gracias!
Un chorro de agua a velocidad U₀ constante y grosor h₀ es lanzada simétricamente contra una cuña de ángulo 2α. Suponga que el flujo
incidente y resultante ocurre en un plano perpendicular a la fuerza gravitatoria.
En lo que sigue, compare los resultados para un fluido de viscosidad constante μ y para un fluido no viscoso.
-Calcule el ancho del flujo sobre la cuña y determine la fuerza por unidad de largo ejercida sobre la cuña (donde el largo se refiere a la distancia que el fluido ha recorrido sobre la cuña).
- En un cierto instante de tiempo, al chorro de agua inicial se agrega un flujo por unidad de ancho ∆q U0h0 , lo cual causa que una pequeña película de agua de altura ∆h se propage por encima del flujo de altura h. Calcule ∆h y la velocidad con la que se propaga esta película de agua.



hola muchas gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

Expongo el caso de un fluido ideal sin viscosidad. Aplico Bernoulli entre un punto del chorro inicial (0) y un punto del chorro después de haber chocado contra la cuña (1). Este punto 1 puede ser, indistintamente, del chorro superior o del chorro inferior.

$\dfrac{p_0}{\rho g}+z_0+\dfrac{U_0^2}{2g}=\dfrac{p_1}{\rho g}+z_1+\dfrac{U^2}{2g}$,

Como $p_1=p_0$ y $z_1=z_0$,

$U=U_0$.

Por conservación de la masa y por simetría, el caudal inicial se divide en dos caudales iguales, es decir,

$$Q_1=\dfrac{Q_0}{2}=\dfrac{U_0\dfrac{\pi}{4}h_0^2}{2}=U_0\dfrac{\pi}{8}h_0^2$$

También se cumple

$$Q_1=U_0\dfrac{\pi}{4}h^2$$

Igualando (1) con (2), se obtiene

$h=\dfrac{h_0}{\sqrt{2}}$.

Para un fluido con viscosidad, no lo tengo claro. A ver si alguien más aporta.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a todos , te seguí hasta que introdujiste a pi, esto no es un caño circular, es un flujo rectangular donde la altura no afecta pero si el espesor.
El caudal se divide en dos el espesor a la mitad y la velocidad se conserva en cada chorro.
En el caso con viscosidad, se puede usar la ecuación del fijo laminar para hacer un nuevo perfil de velocidades, cuya integral el la sección sea igual a la mitad del caudal.

[JCB]

Hola a tod@s.

... / ... te seguí hasta que introdujiste a pi, esto no es un caño circular, es un flujo rectangular ... / ...

Pues no lo tengo tan claro como tú, Richard, para mí eso es interpretable: normalmente los chorros de agua, salen de tuberías de sección circular, ¿ no ?. Quizás está poco definido en el enunciado del ejercicio, y queda a merced de posibles interpretaciones. La mía, en el caso de fluido ideal, es que el flujo que impacta contra la cuña es de sección circular, y los dos que salen, también. Pero ya te digo, es mi interpretación.

En otro orden de cosas, y permaneciendo en la condición de fluido ideal (no viscoso e incompresible), existe una fuerza del chorro contra la cuña (igual a la fuerza que la cuña ejerce sobre el chorro), debido a la variación de la cantidad de movimiento que experimenta el chorro.

$F_xt=\Delta(mv)_x=mv_{fx}-mv_{0x}=\dfrac{m}{2}U_0\cos\alpha+\dfrac{m}{2}U_0\cos\alpha-mU_0=-mU_0(1-\cos\alpha)$,

$F_x=-\dfrac{m}{t}U_0(1-\cos\alpha)=-\rho QU_0(1-\cos\alpha)$.

$F_x$ es la fuerza que la cuña ejerce sobre el chorro, habiendo supuesto que la cuña está fija. El signo denota el sentido de derecha a izquierda.

En el eje $Y$, perpendicular a $X$, las fuerzas se anulan por simetría.

Saludos cordiales,
JCB.

[Daniel Caceres]

• hola!, muchas gracias por responder, tengo algunas dudas, tengo entendió que en este ejercicio la velocidad U₀ no es la misma velocidad que sale en los chorros divididos por las cuñas U tanto en en el caso con y sin viscosidad, por otro lado creo que este ejercicio como dice Richard es un flujo rectangular. Como conozco la velocidad inicial y la altura h₀ podría encontrar el caudal inicial, y con esto usando ecuación de continuidad imponer condiciones para obtener h y el perfil de velocidades, Por otro lado debería tomar una sección volumetrica y hacer analogía con lo que entra y con lo que sale y hacer obtener también una relación? la verdad qui estoy un poco perdido, si me pudieran orientar se los agradecería, por el momento solo estoy interesado en el casi sin viscosidad.

muchas gracias

[JCB]

Si algo hay que no te quede claro, vuelve a preguntar.

[JCB]

Hola a tod@s.

En el caso del fluido ideal (del que no me he movido), si el flujo es de sección rectangular, en lugar de sección circular (como había supuesto en mi mensaje # 2), no hay inconveniente. $U=U_0$, de mi mensaje # 2, sigue siendo válido. Pero a partir de aquí, planteas (suponiendo que la altura (editado) $a$ del flujo, se mantenga constante)

$Q_1=\dfrac{Q_0}{2}=\dfrac{U_0h_0a}{2}$.

También se cumple $Q_1=U_0ha$. Igualando,

$h=\dfrac{h_0}{2}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Daniel Caceres]

gracias nuevamente por responder!, ahora mi pregunta es como calcular la fuerza por unidad de largo ejercida sobre la cuña ?

[JCB]

Para el caso de fluido con viscosidad, aún no tengo conclusiones.

[Richard R Richard]

$F_x=-\dfrac{m}{t}U_0(1-\cos\alpha)=-\rho QU_0(1-\cos\alpha)$.

Coincido ...si el flujo es de Perfil rectangular cuya sección es $S=lh$ entonces

la fórmula queda

$F_x=-\rho SU_0^2(1-\cos\alpha)=-\rho\, l \,h U_0^2(1-\cos\alpha)$

si hay viscosidad

hay un perfil de velocidad para cada tipo de flujo , laminar o turbulento

el flujo puede tener este perfil,




$\tau=\mu\dfrac{\partial U}{\partial h}$

para que el caudal se conserve con este perfil de velocidad superficial debe ser el doble $(U_o$) que la velocidad media que es $U_o/2$, ya que sobre la pared es nula, cualquier otro tipo de perfil que se crea conveniente par el fluido en cuestión, $Q=l\dst\int_0^h u(h)\dd h$

La resistencia al flujo cuando hay viscosidad depende del largo del brazo en el sentido de circulación que tampoco lo dan como dato, pero puedes calcular la caída de velocidad por metro adicional de brazo ( y el incremento de altura para conservar el caudal en el brazo) mediante la formula de Darcy Waisbach, o la de Pouseville si el flujo es laminar

Cuando apliques bernoulli para el largo de flujo que desees, debes tener en cuanta que esta fuerza de fricción es paralela a los flujos de salida, por lo que debes componer vectores en una suma para hallar la fuerza total.

El signo negativo indica que el sentido de la fuerza es contrario al sentido de circulación del fluido.


cuando te dicen fuerza por unidad de largo es para que independices el calculo por de la variable altura $l$ como yo la llame


$F_l=\dfrac{F_x}{l}=-\rho \,h U_0^2(1-\cos\alpha)$ que si son datos del problema.


Del dibujo no interpreto que haya paredes externas estáticas que contengan al flujo, por lo que quizá, el calculo del Reynodls, para establecer el tipo de flujo, debe hacer como en los canales abiertos, en función de un radio hidráulico calculada como la sección sobre el perímetro mojado.

alguna referencia en https://hidraulica65.webnode.com.co/paseos/

[Daniel Caceres]

efectivamente no hay paredes, solo la cuña.

[Daniel Caceres]

Creo que en este caso ninguna de las dos formulas aplica ya que el flujo no esta confinado a una tubería, creo que usando conservación del flujo( forma integral, encerrando el experimento en un volumen cerrado), el perfil de velocidades se asume laminar simple, es algo así como un numero de Reynolds muy pequeño

[Daniel Caceres]

ahora si agrego el flujo por unidad de ancho ∆q<< U₀h_{0 ,} como quedaria la velocidad con la que se propaga la pelicula de agua de altura ∆h?.
Muchas gracias por explicarme lo anterior ahora si me quedo claro.

[Richard R Richard]

Hola Daniel del mismo modo debes proceder, en el caso de un fliujo laminar, de perfil recto, un incremento de altura $\Delta h$ que sea simétrico, de divide por la mitad en cada brazo, y la velocidad superficial sigue siendo Uo
Si el perfil no es recto , ejemplo parabólico, entonces la contribución de ese $\Delta h/2$ hace que la velocidad tangencial descienda, ya que habrá mas sección en la que el flujo puede circular a mayor velocidad, luego como el incremento de caudal solo puede ser proporcional, la velocidad tangencial será menor que $2 U_o$ pero siempre mayor a $U_o$ dependiendo del perfil
En regimen turbulento, el caudal de cada brazo se increneta en la mitad de \Delta Q, y dada l constante entonces el incremento de altura de cada canal es $\Delta h/2$
Las fuerzas se calcularán de manera similar a lo que hicimos en el post #8, lo que debes observar es que aumentar linealmente \Delta h en régimen turbulento , incrementa casi casi linealmente la fuerza, los efectos de fricción son los mismos, pero los de conservación de la cantidad de movimiento, son proporcionales al caudal desviado.

[JCB]

Hola a tod@s.

A modo de resumen, y considerando una sección rectangular de anchura $h_0$ y altura $a$, dado que el croquis del primer mensaje indica que el flujo entrante y los dos salientes, están contenidos en un plano horizontal:

1) Para el caso de fluido ideal, estoy bastante seguro (la seguridad absoluta no la tengo), de que la solución es $h=\dfrac{h_0}{2}$ (ver la demostración en el mensaje # 6) y la fuerza $F_x=-\rho QU_0(1-\cos\alpha)$ (ver la demostración en el mensaje # 4). Si substituimos $Q=U_0S=U_0h_0a$,

$F_x=-\rho U_0^2h_0a(1-\cos\alpha)$.

Por unidad de altura, esta fuerza constante, es $\dfrac{F_x}{a}=-\rho U_0^2h_0(1-\cos\alpha)$.

2) Para el fluido con viscosidad, hay algo que no me cuadra. Creo que sin conocer el perfil de velocidades del flujo, no es posible llegar a obtener $F_x$. Daniel: ¿ el enunciado es literal y completo ?, ¿ o bien falta indicar algún dato ?.

Me parece un ejercicio interesante y sería una lástima que se quedase sin resolver.

Saludos cordiales,
JCB.

[Daniel Caceres]

Muchas gracias por comentar!, este es todo el enunciado del problema, sin embargo si crees que falta información, podrías comentar el por que, podría ser que realmente falte información, saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

En relación a tu comentario # 11.1, ya te escribí en el mensaje # 11, que sin saber el perfil de velocidades del flujo, no veía posible llegar a obtener $F_x$.

Lamento no poder ayudarte más.

Saludos cordiales,
JCB.

[Daniel Caceres]

hola! muchas gracias

[Richard R Richard]

Hola el perfil de velocidades lo da el tipo de fluido que se trate, si el perfil es lineal se lo llama fluido newtoniano, si la velocidad cae con el esfuerzo es reopéctico y si aumenta tixotrópico.

Si el fluido es newtoniano, la velocidad superficial sera de cada brazo es 2Uo , si es reopectico se moverá con dificultad, y si es tixotropico casi toda.la.masa tendrá la velocidad Uo.