Problema viscosidad. Fluidos Newtonianos

[scmtz]

Hola! Tengo una duda con el siguiente problema.
Se trata de un cilindro que cae a través de otro que contiene un aceite con viscosidad 0,006fts/m2. El primero (el que cae) tiene 1 in de diametro y 10in de longitud. La velocidad que alcanza al caer es de 0,6 ft/s. El aceite tiene un peso especifico relativo respecto al agua de 7,85.
La primera pregunta es determinar el espaciado entre los dos cilindros. En eso no tengo problema.
El segundo apartado no consigo resolverlo. Dice que un cilindro de 2 in de diametro y 15 in de longitud cae a través de otro cilindro de dimensiones desconocidas que contiene un fluido newtoniano con viscosidad desconocida también. El cilindro alcanza una velocidad de 1ft/s. ¿Qué velocidad adquirirá el cilindro del primer apartado en este sistema?

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque escribes que has resuelto el primer apartado, prefiero indicar el desarrollo que he hecho, por si mi interpretación no es correcta, siendo esta la siguiente: se trata de un cilindro macizo (con tapa inferior y superior) que cae dentro de un tubo en posición vertical lleno de aceite. Supongo esto, porque si el cilindro fuese hueco (sería otro tubo), también intervendría el rozamiento viscoso en las paredes internas del cilindro hueco, y no solo en las paredes externas.

Por otra parte, en el enunciado indicas para el aceite, un peso específico relativo al agua de $7,85$. Pero este peso específico relativo al agua no puede ser de aceite, en todo caso es del acero, material que, supongo, constituye al cilindro.

a) Dicho esto, planteo el equilibrio en el eje $Y$, considerando que las fuerzas debidas a la presión en las bases del cilindro, son despreciables. Por tanto, solo considero dos fuerzas: la fuerza de rozamiento viscoso, $F_r=\mu S\dfrac{v}{e}$ y el peso del cilindro, $mg$. La fuerza de rozamiento viscoso puede escribirse de esta forma, porque el gradiente de velocidades es constante.

$F_r-mg=0$,

$\mu S\dfrac{v}{e}-mg=0$,

$$e=\dfrac{\mu Sv}{mg}$$

Dónde:

$S$ es la superficie de contacto entre el cilindro (de diámetro $d$) y el tubo, en este caso, la superficie lateral del cilindro, $S=\pi dh$.

Y el peso, $mg=\rho_{acero}Vg=\rho_{acero}\dfrac{\pi}{4}d^2hg$.

Substituyendo estas expresiones en (1), el espesor de la película de aceite, resulta ser

$e=\dfrac{4\mu v}{\rho_{acero}dg}=0,1075\ mm$.

b) Igual que tú, en el segundo apartado, no he podido avanzar demasiado: me sobra alguna de las dos incógnitas ($\mu$ y $e$).

Si consigo llegar a algún resultado, ya lo publicaré.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

a1) Continúo en el primer apartado, pero ahora considero las fuerzas debidas a la presión hidrostática. El equilibrio en el eje $Y$ es

$F_p+F_r-mg=0$,

$\rho_{aceite}gh\dfrac{\pi}{4}d^2+\mu S\dfrac{v}{e}-\rho_{acero}\dfrac{\pi}{4}d^2hg=0$,

$\rho_{aceite}gh\dfrac{\pi}{4}d^2+\mu \pi dh\dfrac{v}{e}-\rho_{acero}\dfrac{\pi}{4}d^2hg=0$,

$e=\dfrac{4\mu v}{(\rho_{acero}-\rho_{aceite})dg}=0,1217\ mm$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola en el segundo apartado $\dfrac{e}{\mu}=C_{te}$ calculas el valor para los segundos datos o lo igualas con los datos respectivos sacados del problema 1. Tanto $e$ como $\mu$ son lo único que varía en el sistema, manteniendo la misma fuerza de equilibrio.
Editado
$\dfrac{e}{\mu}=\dfrac{S_1v_1}{F_1}=\dfrac{S_2v_2}{F_2}$

De la segunda igualdad de ve claramente como despejar la nueva velocidad.

PD lo calculado en el post #3 por JCB como fuerza de presion es en realidad el empuje del aceite. Estamos suponiendo que la presión sobre el aceite ylis cilindros es la misma e igual a la presión atmosférica.

[JCB]

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PD lo calculado en el post #3 por JCB como fuerza de presion es en realidad el empuje del aceite. Estamos suponiendo que la presión sobre el aceite ylis cilindros es la misma e igual a la presión atmosférica.

Hola a tod@s.

Efectivamente, Richard, la diferencia entre la fuerza de la presión inferior y la fuerza de la presión superior, es el empuje. Yo lo he expresado como una diferencia de fuerzas debida a las presiones, hecho que no está, en absoluto, en contradicción con el empuje de Arquímedes, como puedes leer a continuación:

$F_s=p_sS$,

$F_i=p_iS=p_sS+\rho ghS$,

$F_i-F_s=\rho ghS=\rho gV$.

Al tratarse de una diferencia de presiones, es irrelevante considerar si son absolutas o manométricas.

En cuanto al segundo apartado, sinceramente, no acabo de comprender tu planteamiento, por lo que te agradecería que lo pudieses desarrollar algo más.

Saludos cordiales,
JCB.

[scmtz]

Primero, gracias por responder.
El segundo apartado se trata de otro sistema diferente. Tenemos un cilindro hueco, de dimensiones desconocidas que contiene un fluido newtoniano, del cual se desconoce su viscosidad. Un cilindro macizo con peso especifico relativo de 9,02 cae dentro de ese cilindro y alcanza una velocidad de 1 ft/s. Las dimensiones del cilindro macizo son 2 in de diametro y 15 in de longitud.
Lo que plantea el problema es determinar qué velocidad alcanzaría el cilindro macizo del primer apartado (1in de diámetro y 10 in de longitud) en este sistema, es decir, si cae a través de este nuevo cilindro hueco.
No se si así me he explicado un poco mejor.

[Richard R Richard]

Creo que me compliqué demás Sabemos que la velocidad terminal o final en el equilibrio la sumatoria de todas las fuerzas involucradas es nula resultando en aceleración nula.

$P-E-\mu S\dfrac{v}{e}=0$

cualquier combinación de viscosidad y espesor resulta entonces en una velocidad final diferente.

El segundo apartado sabemos por un lado la sección y la velocidad resultante, la superficie , peso y empuje aplicado
$\dfrac{e}{\mu}=\dfrac{S_1v_1}{P_1-E_1}=\dfrac{S_2v_2}{P_2-E_2}$

Trabajando las fórmulas

$\dfrac{4\pi d_1 h_1 v_1}{(\rho_{acero}-\rho_{aceite})\pi d_1^2 h_1 g}=\dfrac{4\pi d_2 h_2 v_2}{(\rho_{acero}-\rho_{2})\pi d_2^2 h_2 g}$

Como las alturas h son iguales en cada termino y la gravedad de la misma podemos hacer mucho simplificaciones llegando a
$\dfrac{v_1}{(\rho_{acero}-\rho_{aceite})d_1 }=\dfrac{v_2}{(\rho_{acero}-\rho_{2}) d_2}$


Cómo desconocemos densidades del segundo fluido y además comparadas con la del acero, ambas son más pequeñas podemos despreciar llegando a

$\dfrac{v_1}{d_1 }=\dfrac{v_2}{d_2}$

Donde fácilmente se despeja la segunda velocidad que pide el problema.

[scmtz]

Muchas gracias por responder. Es un problema que nos planteó la profesora de mecánica de fluidos, le he preguntado también a ella y me ha dicho que tu resolución era correcta.

[JCB]

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El segundo apartado sabemos por un lado la sección y la velocidad resultante, la superficie , peso y empuje aplicado

$\dfrac{e}{\mu}=\dfrac{S_1v_1}{P_1-E_1}=\dfrac{S_2v_2}{P_2-E_2}$

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Aquí $e$ no es constante (aunque $\mu$, sí): según el enunciado, el diámetro de los cilindros es de $1$ y $2$ pulgadas, respectivamente.

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$\dfrac{4\pi d_1 h v_1}{(\rho_{acero}-\rho_{aceite})\pi d_1^2 h g}=\dfrac{4\pi d_2 h v_2}{(\rho_{acero}-\rho_{2})\pi d_2^2 h g}$

Como las alturas h son iguales y la gravedad de la misma podemos hacer mucho simplificaciones llegando a
$\dfrac{v_1}{(\rho_{acero}-\rho_{aceite})d_1 }=\dfrac{v_2}{(\rho_{acero}-\rho_{2}) d_2}$

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Pues tampoco, porque resulta que las alturas $h$ no son iguales: según el enunciado, $10$ y $15$ pulgadas, respectivamente.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Aquí $e$ no es constante (aunque $\mu$, sí): según el enunciado, el diámetro de los cilindros es de $1$ y $2$ pulgadas, respectivamente.

pero te están diciendo que reíteran el experimento , así el peso es el del problema 1 ,la viscosidad y espesor incógnitas que se repiten y las tratas como una sola por igualación , fíjate que la velocidad no es la del problema 1 sino dato del 2, eso hace que no necesites mu

Pues tampoco, porque resulta que las alturas $h$ no son iguales: según el enunciado, $10$ y $15$ pulgadas, respectivamente.

Saludos cordiales,
JCB.

La altura se simplifica sobre el mismo termino.Quiza le falte el subíndice y la frase no fue muy aclaradora.

Sabemos

$P_1-E_1=\dfrac{\mu_1}{e_1}S_1v_1$

Y queremos saber

$$P_1-E_1=\dfrac{\mu_2}{e_2}S_1v_?$$

Para lo que tenemos datos

$$P_2-E_2=\dfrac{\mu_2}{e_2}S_2v_2$$

Dividimos la ecuación 1 por 2 y sale lo que he escrito antes

[JCB]

Hola a tod@s.

Me cuesta ver el segundo apartado. Si partimos de la expresión $e=\dfrac{4\mu v}{\rho_{acero}dg}$ (del mensaje # 2), al no variar el material del cilindro interior, ni la viscosidad del líquido contenido por el tubo, lo que permanece constante es el cociente

$\dfrac{4\mu}{\rho_{acero}g}=\dfrac{ed}{v}=cte$. Es decir,

$\dfrac{e_1d_1}{v_1}=\dfrac{e_2d_2}{v_2}$. Llamando $D$ al diámetro interior del tubo,

$\dfrac{\left(\dfrac{D-d_1}{2}\right)d_1}{v_1}=\dfrac{\left(\dfrac{D-d_2}{2}\right)d_2}{v_2}$,

$\dfrac{(D-d_1)d_1}{v_1}=\dfrac{(D-d_2)d_2}{v_2}$.

En esta expresión conocemos $d_1$, $v_1$ y $d_2$, pero desconocemos $D$ y $v_2$ (esta última es precisamente el objetivo del segundo apartado).

Sigo sin comprender la solución adoptada por Richard y la profesora de scmtz.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Repetir el experimento es repetir condiciones salvo las que a propósito nos interesa variar, entonces también podemos "suponer" que el espesor entre cilindros es el mismo en ambos$D_1-d_1=D_2-d_2=e=C_{te}$
luego si el fluido es el mísmo $\mu=C_{te}$
Así $\dfrac{\mu}{e}=C_{te}$ para los datos del problema 2 del cual se desprende su valor y se puede reemplazar en los datos del primer problema para hallar la velocidad de equilibrio (fórmula 1 post#8) no encuentro palabras para explicarme mejor.

[JCB]

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Un cilindro macizo con peso especifico relativo de 9,02 cae dentro de ese cilindro y alcanza una velocidad de 1 ft/s. Las dimensiones del cilindro macizo son 2 in de diametro y 15 in de longitud.
Lo que plantea el problema es determinar qué velocidad alcanzaría el cilindro macizo del primer apartado (1in de diámetro y 10 in de longitud) en este sistema, es decir, si cae a través de este nuevo cilindro hueco.

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Hola a tod@s.

Esto decía scmtz en su comentario # 5.1. Aunque si mantenemos el diámetro interior del tubo, entonces ya no tendríamos una película de fluido, sino un espesor considerable, al pasar de un cilindro de diámetro de 2 pulgadas a otro cilindro de diámetro 1 pulgada.

Quizás la simplificación obligada es la única manera de conseguir llegar a un valor numérico para el ejercicio.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Entiendo, eso lo pensé al principio, pero media pulgada de diferencia en el diámetro son 6.25mm de espesor, ni de casualidad va a caer recto un cilindro sobre el otro conservando su eje, eso es bastante alejado de la realidad para cualquier uso práctico de las propiedades viscosas y de la constancia de la derivada de la velocidad respecto del espesor para un fluido newtoniano.